[論文レビュー] Completely bounded representations of convolution algebras of locally compact quantum groups

Michael Brannan, Matthew Daws+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 48被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクトな量子群に関連する畳み込み代数の完全有界表現を調査し、表現 π が ∗-準同型と類似であるための必要十分条件として、π とその双対 π* がともに完全有界であること、すなわち、π が ∗-準同型と類似であるための必要十分条件が、π と π* がともに完全有界であることであることを確立している。主な貢献は、関連するコリプレゼンテーション Vπ の可逆性が、π と π* がともに完全有界であることと同値であるという双対性結果であり、これは古典的なフーリエ代数に関する結果を量子設定に拡張している。

ABSTRACT

Given a locally compact quantum group $\mathbb G$, we study the structure of completely bounded homomorphisms $π:L^1(\mathbb G) ightarrow\mathcal B(H)$, and the question of when they are similar to $\ast$-homomorphisms. By analogy with the cocommutative case (representations of the Fourier algebra $A(G)$), we are led to consider the associated map $π^*:L^1_\sharp(\mathbb G) ightarrow \mathcal B(H)$ given by $π^*(ω) = π(ω^\sharp)^*$. We show that the corepresentation $V_π$ of $L^\infty(\mathbb G)$ associated to $π$ is invertible if and only if both $π$ and $π^*$ are completely bounded. Moreover, we show that the co-efficient operators of such representations give rise to completely bounded multipliers of the dual convolution algebra $L^1(\hat \mathbb G)$. An application of these results is that any (co)isometric corepresentation is automatically unitary. An averaging argument then shows that when $\mathbb G$ is amenable, $π$ is similar to a *-homomorphism if and only if $π^*$ is completely bounded. For compact Kac algebras, and for certain cases of $A(G)$, we show that any completely bounded homomorphism $π$ is similar to a *-homomorphism, without further assumption on $π^*$. Using free product techniques, we construct new examples of compact quantum groups $\mathbb G$ such that $L^1(\mathbb G)$ admits bounded, but not completely bounded, representations.

研究の動機と目的

• 局所コンパクトな量子群 G に対して、Dixmierの類似問題を L¹(G) の完全有界表現を用いて一般化すること。
• 双対写像 π* を用いて、このような表現が ∗-準同型と類似である条件を同定すること。
• 可逆コリプレゼンテーションと両方の完全有界表現 π と π* の間の双対性を確立すること。
• このような表現の係数作用素が、双対畳み込み代数 L¹(Ĝ) 上の完全有界乗法作用素を生成することを示すこと。
• 自由積技術を用いて、有界ではあるが完全有界でない表現をもつコンパクトな量子群の新しい例を構成すること。

提案手法

• π* を L¹♯(G) 上に定義し、π*(ω) = π(ω♯)* とし、π を対合を含む部分空間へ拡張する。
• コリプレゼンテーション理論を用いて、各表現 π: L¹(G) → ℬ(H) に対して、有界作用素 Vπ ∈ L∞(G) ⊗ ℬ(H) を関連付ける。
• 双対性および非有界な反対作用素 S の性質を用いて、Vπ が可逆であることと、π と π* がともに完全有界であることの必要十分条件であることを証明する。
• L¹(Ĝ) 上の完全有界乗法作用素の理論を適用し、π の係数作用素がこのような乗法作用素を誘導することを示す。
• アメニタリの場合の平均化論法を用いて、π が ∗-準同型と類似であることと、π* が完全有界であることの必要十分条件であることを示す。
• コンパクトな量子群の自由積を用いて、有界だが完全有界でない表現をもつ新しい例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトな量子群 G に対して、完全有界表現 π: L¹(G) → ℬ(H) が ∗-準同型と類似であるのはいつか？
• RQ2 量子群表現の文脈において、π とその双対 π* の完全有界性の関係は何か？
• RQ3 可逆コリプレゼンテーション Vπ は、π と π* の完全有界性とどのように関係するか？
• RQ4 π の係数作用素は、双対畳み込み代数 L¹(Ĝ) の乗法作用素論において果たす役割は何か？
• RQ5 自由積構成により、L¹(G) が有界だが完全有界でない表現をもつコンパクトな量子群を構成できるか？

主な発見

• G がアメニタリである限り、表現 π: L¹(G) → ℬ(H) が ∗-準同型と類似であることと、π と π* がともに完全有界であることの必要十分条件である。
• コリプレゼンテーション Vπ が L∞(G) ⊗ ℬ(H) 内で可逆であることと、π と π* がともに完全有界であることの必要十分条件である。
• π と π* が完全有界であるとき、π の係数作用素は双対畳み込み代数 L¹(Ĝ) 上の完全有界乗法作用素を生成する。
• コンパクト Kac代数および A(G) の特定のケースでは、π* が完全有界でなくても、すべての完全有界な準同型 π は ∗-準同型と類似である。
• 自由積技術を用いて、L¹(G) が有界だが完全有界でない表現をもつコンパクトな量子群を構成した。
• 結果の応用として、任意の（共）等長コリプレゼンテーションは自動的にユニタリであることが示された。