[論文レビュー] Amenability versus property (T) for non locally compact topological groups

Vladimir Pestov|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2015

Advanced Topology and Set Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、十分なユニタリ表現を備えたSIN群において、アメニタリティと強い性質(T)が前置性を示すことを確立し、Bekkaの予想を反証する。具体的には、性質(T)を有するが有限カジダン集合を持たない、完全で分離可能かつ最小限のほぼ周期的であるポーランド群の完全な構成がなされている。さらに、性質(T)を有する位相群のクラスが、積位相を伴う任意の無限積に関して閉じていることも示している。

ABSTRACT

For locally compact groups amenability and Kazhdan's property (T) are mutually exclusive in the sense that a group having both properties is compact. This is no longer true for more general Polish groups. However, a weaker result still holds for SIN groups (topological groups admitting a basis of conjugation-invariant neighbourhoods of identity): if such a group admits sufficiently many unitary representations, then it is precompact as soon as it is amenable and has the strong property (T) (i.e. admits a finite Kazhdan set). If an amenable topological group with property (T) admits a faithful uniformly continuous representation, then it is maximally almost periodic. In particular, an extremely amenable SIN group never has strong property (T), and an extremely amenable subgroup of unitary operators in the uniform topology is never a Kazhdan group. This leads to first examples distinguishing between property (T) and property (FH) in the class of Polish groups. Disproving a 2003 conjecture by Bekka, we construct a complete, separable, minimally almost periodic topological group with property (T), having no finite Kazhdan set. Finally, as a curiosity, we observe that the class of topological groups with property (T) is closed under arbitrary infinite products with the usual product topology. A large number of questions about various particular topological groups remain open. The talk is based on the preprint arXiv:1512.01572v3 [math.GR], to appear in Trans. Am. Math. Soc., never before presented at a conference.

研究の動機と目的

• 非局所コンパクトな位相群におけるアメニタリティと性質(T)の相互作用を調査すること。
• Bekka（2003年）の予想である「すべてのポーランド群が性質(T)を有するならば、有限カジダン集合をもつべきである」という仮説を解明すること。
• SIN群における性質(T)、強い性質(T)、および前置性の関係を明確にすること。
• 新しい例を用いて、ポーランド群のクラスにおいて性質(T)と性質(FH)を区別すること。
• 性質(T)を有する群のクラスが、積位相を伴う任意の無限積に関して閉じていることを確立すること。

提案手法

• Bekkaのアメニタリティユニタリ表現の概念と[22]の結果を用い、ヒルベルト空間における表現を分析する。
• SIN群に分離可能なユニタリ表現を備える場合、有限カジダン集合による強い性質(T)の概念を適用する。
• 超積技術を用いて、不変ベクトルが存在しない場合のほぼ不変ベクトルを分析し、矛盾を導出する。
• 無限大のIおよび無限大の単純カジダン群Γに対して、制限積b(I, Γ)を用いて反例を構成する。
• カジダン群の無限族に積位相を適用し、任意の無限積に関して閉じていることを証明する。
• 鳩の巣原理と座標射影を用いて、特定の群が有限カジダン集合を有しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い性質(T)と分離可能なユニタリ表現を備えたアメニタリなSIN群が、前置性でないことがあるか？
• RQ2 すべてのポーランド群が性質(T)を有するならば、必然的に有限カジダン集合を有するか？
• RQ3 ポーランド群のクラスにおいて、性質(T)と性質(FH)を区別できるか？
• RQ4 積位相を伴う任意の無限積に関して、性質(T)を有する位相群のクラスは閉じているか？
• RQ5 有限カジダン集合を持たない、性質(T)を有する最小限のほぼ周期的群は存在するか？

主な発見

• 強い性質(T)と分離可能なユニタリ表現を備えたアメニタリなSIN群は、前置性である。
• 非自明なユニタリ表現を有するアメニタリなSIN群が強い性質(T)を有することはできない、最小限のほぼ周期的でない場合。
• 測度収束位相を備えたL0((0,1), T)は性質(T)を有するが、有限カジダン集合を持たない。
• 一様位相を備えたユニタリ作用素群UC(ℓ2)は性質(T)を有しない。
• 性質(T)を有する位相群のクラスは、積位相を伴う任意の無限積に関して閉じている。
• 性質(T)を有するが有限カジダン集合を持たない、完全で分離可能かつ最小限のほぼ周期的であるポーランド群が存在し、Bekkaの2003年の予想を反証する。