[論文レビュー] Ample Divisors, Automorphic Forms and Shafarevich's Conjecture

Andrey Todorov, Jay Jorgenson|ArXiv.org|Apr 7, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、固定された代数的曲線上に、所定の特異纤维をもつ極小化された代数的K3およびEnriques曲面の族の有限性に関する一般的基準を確立する。Baily-Borelコンパクト化における判別式除以Dが非常に正であることを示すことにより、このような族は同型を除いて有限であることを証明し、モジュライ理論における幾何学的および算術的技法を用いて、これらの曲面に対するシャファレヴィチ予想の高次元版を裏付ける。

ABSTRACT

In this article we give a general approach to the following analogue of Shafarevich's conjecture for some polarized algebraic varieties; suppose that we fix a type of an algebraic variety and look at families of such type of varieties over a fixed Riemann surface with fixed points over which we have singular varieties, then one can ask if the set of such families, up to isomorphism, is finite. In this paper we give a general approach to such types of problems. The main observation is the following; suppose that the moduli space of a fixed type of algebraic polarized variety exists and suppose that in some projective smooth compactification of the coarse moduli the discriminant divisor supports an ample one, then it is not difficult to see that this fact implies the analogue of Shafarevich's conjecture. In this article we apply this method to certain polarized algebraic K3 surfaces and also to Enriques surfaces.

研究の動機と目的

• 固定された曲線上に所定の特異纤维をもつ極小化された代数的多様体の族の有限性に関する一般的基準を確立すること。
• シャファレヴィチの予想を、特にK3およびEnriques曲面に対して高次元に拡張すること。
• Baily-Borelコンパクト化におけるモジュライ空間の判別式除以が非常に正である場合、そのような族の集合が有限であることを示すこと。
• この基準を固定度数の擬極小化K3曲面および極小化Enriques曲面に適用すること。
• モジュライ空間が準アフィン的またはアフィン的である条件が、族の等質性または有限性を示すことの意味を明らかにすること。

提案手法

• 著者たちは、擬極小化K3曲面およびEnriques曲面のモジュライ空間のBaily-Borelコンパクト化を用い、判別式除以Dを分析する。
• 判別式除以Dがコンパクト化内で非常に正な除以を支持するならば、モジュライ空間は準アフィン的であることを証明する。
• 主な議論は、射影的曲線から準アフィン的多様体への正則写像は定数写像でなければならない、という事実に依拠している。このことから、族の有限性が導かれる。
• この手法は、次数2dの極小化K3曲面およびHマーク付き極小化のEnriques曲面のモジュライ空間に適用可能である。
• 有限被覆と引き戻しを用いて、判別式除以の非常に正性を示せる設定に問題を還元する。
• ホッジ理論、周期写像、およびエルミート対称領域の幾何学に関する結果を援用し、モジュライ空間の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された曲線C上に、固定された除以E上で特異纤维をもつ極小化K3曲面族の同型類の集合が、いつ有限になるか。
• RQ2 Baily-Borelコンパクト化におけるモジュライ空間の判別式除以が非常に正であると、そのような族の有限性が保証されるか。
• RQ3 モジュライ空間の準アフィン性が、曲線上の代数的曲面族の幾何に、どの程度制御的役割を果たすか。
• RQ4 判別式除以の非常に正性が、特異纤维のない族に対して等質性（isotriviality）を導くか。
• RQ5 周期写像およびBaily-Borelコンパクト化の性質が、Enriques曲面族の有限性に、どのように制限を加えるか。

主な発見

• Baily-Borelコンパクト化における判別式除以が非常に正である限り、固定された曲線C上に、固定された除以E上で特異纤维をもつ擬極小化K3曲面族の同型類の集合Sh(C,E,Z)は有限である。
• 次数2dの極小化Enriques曲面に対しては、Hマーク付きの場合への還元と有限被覆の利用により、同様の条件のもとで集合Sh(C,E,Enr)が有限であることが示された。
• Hマーク付きEnriques曲面のモジュライ空間は準アフィン的であるため、任意の射影的曲線からそれへの正則写像は定数写像でなければならない。このことから、有限性が導かれる。
• 有限写像による判別式除以の引き戻しは、依然として非常に正であるため、この有限性結果は元のモジュライ空間へと降下可能である。
• コンパクト化における判別式除以の非常に正性は、モジュライ空間が準アフィン的であることを示し、特異纤维がない場合には、任意の族が等質的でなければならないことを強制する。
• 著者たちは、不変計量のもとで、曲線のモジュライ空間への像の体積が有界であることを確立した。このことと非常に正性を組み合わせることで、同型類の数の有限性が保証される。