[論文レビュー] Ample groupoids: equivalence, homology, and Matui's HK conjecture

Carla Farsi, Alex Kumjian+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、σ-コン pact な単位空間をもつアーマー・ハウスドルフ群コアの文脈において、群コア同値の複数の概念が一致することを確立し、それらがホモロジーを保存することを証明する。また、零次元空間への ℕᵏ の作用から生じるデアコヌ–ルネオール群コアのホモロジーを計算し、k=1 または 2 の場合、および関連素性条件を満たす単一頂点 k-図形群コアに対して、マツイの HK 猜測を確認する。その際、隣接行列から構成されるチェーン複体を用いる。

ABSTRACT

We investigate the homology of ample Hausdorff groupoids. We establish that a number of notions of equivalence of groupoids appearing in the literature coincide for ample Hausdorff groupoids, and deduce that they all preserve groupoid homology. We compute the homology of a Deaconu{Renault groupoid associated to k pairwisecommuting local homeomorphisms of a zero-dimensional space, and show that Matui's HK conjecture holds for such a groupoid when k is one or two. We specialise to k-graph groupoids, and show that their homology can be computed in terms of the adjacency matrices, using a chain complex developed by Evans. We show that Matui's HK conjecture holds for the groupoids of single vertex k-graphs which satisfy a mild joint-coprimality condition. We also prove that there is a natural homomorphism from the categorical homology of a k-graph to the homology of its groupoid.

研究の動機と目的

• アーマー・ハウスドルフ群コアの文脈における、文献に登場する群コア同値のさまざまな概念を統一・明確化すること。
• これらの同値概念が、アーマー・ハウスドルフの文脈において群コアホモロジーを保存することを確立すること。
• 零次元空間への ℕᵏ 行動から生じるデアコヌ–ルネオール群コアのホモロジーを計算すること。
• k=1 または k=2 の場合に、デアコヌ–ルネオール群コアに対してマツイの HK 猜測が成り立つことを検証すること。
• 関連素性条件を満たす単一頂点 k-図形群コアに対して、マツイの HK 猜測の検証を拡張すること。

提案手法

• 前向き写像 $ \sigma^n_* $ をコンパクト開集合に作用させるものとして、$ n $-チェーンを $ \bigwedge^n\mathbb{Z}^k \otimes C_c(X,\mathbb{Z}) $ にとるチェーン複体 $ A^{ au} $ を定義する。
• デアコヌ–ルネオール群コア $ \mathcal{G}(X,\sigma) $ のホモロジーが、チェーン複体 $ A^\sigma_* $ のホモロジーと自然に同型であることを証明する。
• カスパロフのスペクトル系列とタカイ双対性を用いて、$ \mathcal{G}(X,\sigma) $ のホモロジーを $ \mathbb{Z}^k $ のホモロジー（係数は $ K_0(C^*(\mathcal{G}(X,\sigma) \times_c \mathbb{Z}^k)) $）と関連付ける。
• マツイの Künneth 定理を適用して、積群コア $ \mathcal{G}_\Lambda \cong \mathcal{G} \times \mathcal{H} $ のホモロジーを計算し、問題をテンソル積および Tor 積に還元する。
• 数学的帰納法と $ \mathbb{Z}_m \otimes \mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_{\gcd(m,n)} $、$ \operatorname{Tor}(\mathbb{Z}_m, \mathbb{Z}_n) \cong \mathbb{Z}_{\gcd(m,n)} $ の性質を用いてホモロジー群を計算する。
• エヴァンズの複体からスペクトル系列を構成し、$ C^*(\Lambda) $ の $ K_* $-理論と $ \mathcal{G}_\Lambda $ のホモロジーを関連付ける。$ \gcd(N_1,\dots,N_k) = 1 $ のとき、そのスペクトル系列が収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーマー・ハウスドルフ群コアで、単位空間が σ-コンパクトである場合、文献に登場する群コア同値の概念（モリタ、類似、カクタニ、ルネオール同値）は一致するか？
• RQ2 アーマー・ハウスドルフ群コアの文脈において、群コア同値はホモロジーを保存するか？
• RQ3 零次元空間への ℕᵏ 行動から生じるデアコヌ–ルネオール群コアのホモロジーは、明示的に計算可能か？
• RQ4 k=1 または k=2 の場合、デアコヌ–ルネオール群コアに対してマツイの HK 猜測は成り立つか？
• RQ5 単一頂点 k-図形群コアに対して、マツイの HK 猜測はどのような条件下で成り立つか？

主な発見

• σ-コンパクトな単位空間をもつアーマー・ハウスドルフ群コアにおいて、標準的な群コア同値概念（モリタ、類似、カクタニ、ルネオール）はすべて一致する。
• アーマー・ハウスドルフ群コアの文脈において、群コア同値はホモロジーを保存する。これは、クライニク・モエルジクの結果とマツイの同型定理によって確立される。
• デアコヌ–ルネオール群コア $ \mathcal{G}(X,\sigma) $ のホモロジーは、自然にチェーン複体 $ A^\sigma_* $ のホモロジーと同型である。
• k=1 または k=2 の場合、零次元空間への ℕᵏ 行動から生じるデアコヌ–ルネオール群コアに対して、マツイの HK 猜測が成り立つ。
• 関連素性条件を満たす単一頂点 k-図形群コアに対して、ホモロジーは $ H_n(\mathcal{G}_\Lambda) \cong (\mathbb{Z}_{\gcd(N_1,\dots,N_k)})^{\binom{k-1}{n}} $（$ 0 \leq n \leq k-1 $）であり、それ以外の場合は 0 に等しい。
• $ \gcd(|\Lambda^{e_1}|-1, \dots, |\Lambda^{e_k}|-1) = 1 $ のとき、$ K_*(C^*(\Lambda)) $ および $ H_*(\mathcal{G}_\Lambda) $ はともに消失し、単純であれば $ C^*(\Lambda) \cong \mathcal{O}_2 $ であることが示される。