[論文レビュー] An algebraic approach to coarse graining

Fotini Markopoulou|ArXiv.org|Jun 26, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 23被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、量子場の理論の正則化から取り入れたKreimerの根付き木のHopf代数を応用し、非一様統計系の粗挙げを代数的枠組みで定式化する手法を提案する。Z₂格子ゲージ理論および1+1次元スピンフォームにおけるブロックスピン変換が、この代数的構造上での操作として形式化可能であり、反対元（antipode）が補正項に類似した役割を果たす。これにより、不規則な格子やスピンフォーム複体に対しても、摂動論的でない重正化群的手法を適用可能にする。

ABSTRACT

We propose that Kreimer's method of Feynman diagram renormalization via a Hopf algebra of rooted trees can be fruitfully employed in the analysis of block spin renormalization or coarse graining of inhomogeneous statistical systems. Examples of such systems include spin foam formulations of non-perturbative quantum gravity as well as lattice gauge and spin systems on irregular lattices and/or with spatially varying couplings. We study three examples which are Z_2 lattice gauge theory on irregular 2-dimensional lattices, Ising/Potts models with varying bond strengths and (1+1)-dimensional spin foam models.

研究の動機と目的

• 量子重力におけるスピンフォームモデルに対する摂動論的でない重正化群手法の開発。
• 空間的に変化する結合定数や不規則な格子を持つ非一様系における粗挙げの課題に対処すること。
• 特にHopf代数を用いた代数的構造を用いて、重正化群変換を一般化すること。
• ブロックスピン変換とHopf代数における反対元操作との関係を確立し、摂動論的場の理論の正則化と類似した枠組みを構築すること。
• 重正化により同一の有効頂点を持つスピンフォームの同値類を定義することで、スピンフォーム配置の和算の複雑さを低減すること。

提案手法

• Kreimerの根付き木のHopf代数を、統計系におけるブロックスピン変換をモデル化するために適応する。
• スピン系やスピンフォームを、部分構造（たとえばプラケットや頂点）に重みを割り当てたHopf代数の要素として表現する。
• 粗挙げ操作を代数的演算として定義し、部分構造の縮小と反対元を用いた有効重みの計算を含む。
• 反対元を用いて、量子場の理論における補正項の減算に類似した反復的で一般化された重正化群方程式を生成する。
• 不規則な2次元格子上のZ₂格子ゲージ理論、結合定数が変化する1次元イジング模型、および1+1次元スピンフォームの分配関数にこの形式を適用する。
• 有効頂点が同一であるスピンフォームの配置を特定する同値関係を導入し、分配関数の和算を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KreimerのHopf代数形式は、摂動論的場の理論から非摂動的統計系（たとえばスピンフォームや格子ゲージ理論）へと拡張可能か？
• RQ2 空間的に変化する結合定数を持つ非一様系において、ブロックスピン変換をHopf代数構造に体系的に埋め込む方法は何か？
• RQ3 この代数的枠組みにおいて反対元の果たす役割は何か？標準的な群逆元が存在しない状況において、重正化群の流れとはどのように関係するか？
• RQ4 縮小反対元操作が、スピンフォーム複体に対して適切に定義された重正化手順をもたらすための条件は何か？
• RQ5 この代数的アプローチにより、同値な部分構造をグループ化することで、スピンフォーム配置の和算の計算複雑性を低減できるか？

主な発見

• Hopf代数における反対元操作は、一般化された重正化群変換に対応し、補正項の減算の非摂動的類似を提供する。
• 不規則な2次元格子上のZ₂格子ゲージ理論におけるブロック変換は、括弧付きボルツマン重みとHopf代数操作を用いて形式化可能である。
• 結合定数が変化する1次元イジング模型では、反対元の再帰的適用により正確な粗挙げが可能になる。
• 1+1次元スピンフォームでは、重正化によって関連づけられるスピンフォームの同値類に分配関数を分解でき、中間配置の和算が簡略化される。
• この形式は三角形分割不変性と整合しており、根付き木構造が存在する限り、高次元スピンフォームへと拡張可能である。
• 形式は、反復的反対元操作による数値的重正化群フローの実装が可能であることを示唆しており、摂動論的場の理論での実装例と一致する。