[論文レビュー] An algebro-geometric study of special values of hypergeometric functions ${}_3F_2$

Masanori Asakura, Noriyuki Otsubo+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、分数部分に関するプロファイント適合性条件に基づき、一般化超幾何関数 ${}_3F_2$ の 1 における特殊値が、代数的数の対数の $\overline{\mathbb{Q}}$ 上の線形結合として表現可能であるための十分条件を確立する。この結果は、2 種類の代数幾何的アプローチ——超幾何ファイブレーション上のベイリンソンのレギュレーターと、フェルマー曲面上のレギュレーター——を用いて得られ、特殊値の超幾何関数と算術幾何学との間に深い関係を示している。

ABSTRACT

For certain class of hypergeometric functions ${}_3F_2$ with rational parameters, we give a sufficient condition for the special value at $1$ to be expressed in terms of logarithms of algebraic numbers. We give two proofs, both of which are algebro-geometric and related to higher regulators.

研究の動機と目的

• ${}_3F_2$ 超幾何関数の 1 における特殊値が、代数的数 $\alpha$ に対して $\overline{\mathbb{Q}}$-線形空間として 1 と $\log\alpha$ の線形結合に属する条件を特定すること。
• このような対数表現が成り立つための有理数パラメータ $a,b,q$ に関する十分条件を確立し、ウォーソンの古典的公式を一般化すること。
• 超幾何ファイブレーション上のレギュレーターとフェルマー曲面上のレギュレーターを用いた、2 つの異なる代数幾何的証明を提供すること。
• すべての $s \in \widehat{\mathbb{Z}}^\times$ に対して成り立つ条件 $\{sq\} + \{s(q-a-b)\} = \{s(q-a)\} + \{s(q-b)\}$ の算術的意義を検討すること。
• この条件が、特殊値の対数表現に対して必要かつ十分であると予想すること。

提案手法

• 最初の証明では、超幾何ファイブレーションのモチーフコホモロジー上のベイリンソンのレギュレーターを用い、${}_3F_2$ の特殊値と高次レギュレーターを結びつける。
• 2 番目の証明では、フェルマー曲面のコホモロジー上のレギュレーターを用い、その複素乗法性とホッジ理論的構造を活用する。
• すべての $s \in \widehat{\mathbb{Z}}^\times$ に対して $\{sq\} + \{s(q-a-b)\} = \{s(q-a)\} + \{s(q-b)\}$ が成り立つことは、特定のコホモロジー群がテートねじれであることを示し、これによりレギュレーターが対数部分空間に値をとることを可能にする。
• 証明は、ベッチコホモロジーとド・ラームコホモロジーの双対性およびそれらの間の比較同型（レギュレーターを介して）に依存する。
• この枠組みでは、$\widehat{\mathbb{Z}}^\times$ が $\mathbb{Q}/{\mathbb{Z}}$ に作用することを用い、無限条件を $a,b,q \in \frac{1}{N}\mathbb{Z}$ を満たすような $N$ における有限チェックに還元する。
• 結果は、周期および対数の $\overline{\mathbb{Q}}$-線形結合を法とするレギュレーター写像の構造から得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数パラメータ $a,b,q$ に対して、特殊値 $B(a,b) \cdot {}_3F_2\left(\begin{smallmatrix}a,b,q \\ a+b,q+1\end{smallmatrix};1\right)$ が、$\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^\times$ に対して $\overline{\mathbb{Q}}$-線形空間として 1 と $\log\alpha$ の線形結合に属する条件は何か？
• RQ2 超幾何ファイブレーションおよびフェルマー曲面上の代数幾何的レギュレーターは、${}_3F_2$ の特殊値とどのように関係するか？
• RQ3 すべての $s \in \widehat{\mathbb{Z}}^\times$ に対して $\{sq\} + \{s(q-a-b)\} = \{s(q-a)\} + \{s(q-b)\}$ が成り立つことは、特殊値の対数表現に対して必要かつ十分であるか？
• RQ4 特殊値を代数的数の対数の形で明示的に書くことは可能か？ もしそうなら、どのようなパrameter設定下で可能になるか？
• RQ5 複素乗法性とホッジ型は、レギュレーターが対数部分空間に値をとるかどうかを決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• すべての $s \in \widehat{\mathbb{Z}}^\times$ に対して $\{sq\} + \{s(q-a-b)\} = \{s(q-a)\} + \{s(q-b)\}$ が成り立つことは、$B(a,b) \cdot {}_3F_2\left(\begin{smallmatrix}a,b,q \\ a+b,q+1\end{smallmatrix};1\right)$ が $\overline{\mathbb{Q}} + \overline{\mathbb{Q}} \log \overline{\mathbb{Q}}^\times$ に属するための十分条件である。
• $q = \frac{a+b}{2}$ のとき、$x \notin \mathbb{Z}$ に対して $\{x\} + \{1-x\} = 1$ という恒等式により、条件が成り立つ。これはウォーソンの公式を一般化する。
• この条件は集合 $\{q, q-a-b, a-q, b-q\}$ に対して対称的であり、パラメータが $\mathbb{Z}$ を法としてのみ依存する。
• 本稿では、超幾何ファイブレーション上のレギュレーターとフェルマー曲面上のレギュレーターの両方を用いた独立した証明を提供しており、両者とも同じ結果をもたらす。
• $a=\frac{1}{6}, b=\frac{5}{6}, q=\frac{1}{3}$ のような特定のパラメータに対して、$2\pi \cdot {}_3F_2$ が代数的数 $\alpha, \beta$ に対して $\log\alpha$ と $\mathrm{Cot}^{-1}\beta$ の組み合わせに等しいことが示されている。
• 著者らは、コホモロジー的条件が満たされない場合にこのような表現が成立しないことから、この条件が特殊値が対数部分空間に属するための必要かつ十分であると予想している。