[論文レビュー] An Almost Sure Invariance Principle for Several Classes of Random Dynamical Systems

Jason Atnip|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、基礎の指数的相関減少とスペクトルギャップの性質を活用して、非定常な繊維測度を有する広範なクラスの確率的力学系に対して、ほぼ確実な不変性原理（ASIP）を確立する。この系は、誤差指数が 1/4 を超えるASIPを満たすことが証明され、Gouëzelの手法が非中心のホルダー型観測量へと拡張され、DG*-系を含む一様に拡張する確率的系への応用が行われる。

ABSTRACT

In this paper we deal with a large class of dynamical systems having a version of the spectral gap property. Our primary class of systems comes from random dynamics, but we also deal with the deterministic case. We show that if a random dynamical system has a fiberwise spectral gap property as well as an exponential decay of correlations in the base, then, developing on Gouëzel's approach, the system satisfies the almost sure invariance principle. The result is then applied to uniformly expanding random systems like those studied by Denker and Gordin and Mayer, Skorulski, and Urbański.

研究の動機と目的

• 非定常な繊維測度を有する確率的力学系に対するほぼ確実な不変性原理（ASIP）の拡張を図ること。
• 従来の結果が中心化または定常な場合に限られていたが、非中心のホルダー型観測量を扱う際の課題に取り組むこと。
• 特にスペクトルギャップと基礎の混合性を含む条件下で、確率的設定におけるASIPが成立する条件を確立すること。
• 一様に拡張する確率的系、特にDG*-系を含む特定のクラスに理論を応用すること。
• Gouëzelのスペクトル法を、誤差指数の制御を改善した非定常な確率的設定に一般化すること。

提案手法

• Gouëzelのスペクトル的手法を、繊維ごとのスペクトルギャップと基礎の指数的相関減少を有する確率的力学系に適応する。
• 作用素を用いて系のスペクトル的性質を分析し、関連関数のホルダー連続性を確立する。
• 定理 5.6 を適用して、基底空間 $ X $ 上の関数 $ x \mapsto \int_{\mathcal{J}_x} \mathcal{L}_{r_{n-1},\theta^{-1}(x)} \circ \cdots \circ \mathcal{L}_{r_0,\theta^{-n}(x)}(u_{\theta^{-n}(x)}) \, d\nu_x $ のホルダー連続性を証明する。
• 繊維測度の密度 $ \rho $ が $ \mathcal{J} $ 上で $ \varkappa $-ホルダー連続であることを確立し、$ \varkappa = \min\{\alpha, \beta_\alpha\} $ と定める。
• 定理 3.1 を用いてASIPの仮定を検証し、ホルダーノルムの一様有界性とスペクトルギャップの推定値を利用する。
• スケアプロダクト構造 $ T(x,z) = (\theta(x), T_x(z)) $ を用いて力学系を分解し、時間経過に伴う観測量を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常な繊維測度を有する確率的力学系が、どのような条件下でほぼ確実な不変性原理（ASIP）を満たすか？
• RQ2 Gouëzelのスペクトル法は、確率的設定における非中心のホルダー型観測量を扱うためにどのように拡張可能か？
• RQ3 基礎系における相関の指数的減少が、非定常測度に対するASIPの成立に果たす役割は何か？
• RQ4 一様に拡張する確率的系（例：DG*-系）は、提示された条件下でASIPを満たすか？
• RQ5 このような系において、ASIPの誤差指数を $ 1/4 $ を超えて改善できるか？

主な発見

• 繊維作用素にスペクトルギャップが存在し、基礎写像が相関を指数的に減少させる限り、誤差指数が $ 1/4 $ を超えるほぼ確実な不変性原理（ASIP）が成立する。
• ASIPは中心化された観測量に限らず、一般のホルダー型観測量に対しても成立し、従来の中心化または定常な場合に限った結果の拡張である。
• DG*-系では、定理 3.1 の仮定の検証を通じてASIPが確立され、密度 $ \rho $ のホルダー連続性と作用素ノルムの一様有界性に依存する。
• 関数 $ x \mapsto \int_{\mathcal{J}_x} \mathcal{L}_{r_{n-1},\theta^{-1}(x)} \circ \cdots \circ \mathcal{L}_{r_0,\theta^{-n}(x)}(u_{\theta^{-n}(x)}) \, d\nu_x $ は、$ X $ 上で $ \beta_\zeta $-ホルダー連続であり、$ \mathbb{H}_{\beta_\zeta} $ ノルムが一様に有界であることが示された。
• 極限分散 $ \sigma^2 = 0 $ の場合、Birkhoff和 $ S_n g - \mu(g) $ の $ L^2 $ ノルムは $ n $ に対して一様に有界であり、これは非ガウス的挙動を示している。