[論文レビュー] An invariance principle for sums and record times of regularly varying stationary sequences

Bojan Basrak, Hrvoje Planinić+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 33被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、静的かつ正規化可能に変動する系列における和および記録時刻の新しい不変性原理を確立する。これは、空間 $E$ 内の装飾付き càdlàg 関数に基づく新しい極限理論を導入することで、古典的な $D$-空間の関数極限定理が失敗する状況でも収束を可能にする。一般の自己相関構造下で部分和および走査最大値の弱収束を証明し、依存性制限のもとで記録時刻が複合スケール不変ポアソン過程に収束することを示し、新たな点過程収束枠組みにより時系列的順序を保持する。

ABSTRACT

We prove a sequence of limiting results about weakly dependent stationary and regularly varying stochastic processes in discrete time. After deducing the limiting distribution for individual clusters of extremes, we present a new type of point process convergence theorem. It is designed to preserve the entire information about the temporal ordering of observations which is typically lost in the limit after time scaling. By going beyond the existing asymptotic theory, we are able to prove a new functional limit theorem. Its assumptions are satisfied by a wide class of applied time series models, for which standard limiting theory in the space $D$ of \\cadlag\\ functions does not apply. To describe the limit of partial sums in this more general setting, we use the space~$E$ of so--called decorated \\cadlag\\ functions. We also study the running maximum of partial sums for which a corresponding functional theorem can be still expressed in the familiar setting of space $D$. We further apply our method to analyze record times in a sequence of dependent stationary observations, even when their marginal distribution is not necessarily regularly varying. Under certain restrictions on dependence among the observations, we show that the record times after scaling converge to a relatively simple compound scale invariant Poisson process.

研究の動機と目的

• 標準的な $D$-空間収束が失敗する弱い自己相関性・正規化可能に変動する定常系列の部分和に対する関数極限定理の構築。
• 非局所的コンパクトでない空間上での新しい点過程収束枠組みを導入し、時間スケーリングにより $[0,1]$ にした際の極値の時系列的順序を保存する。
• 古典的 $D([0,1])$ 空間における部分和の走査最大値に対する関数極限定理の確立。
• 依存性制限のもとで、定常的かつ依存的な系列における記録時刻の収束を分析し、複合スケール不変ポアソン過程に収束することを示す。
• 極値的依存性におけるクラスタ構造と時系列的順序を捉えるために、古典的点過程極限定理を拡張する。

提案手法

• 非局所的コンパクトでない空間上での新しい点過程収束枠組みを導入し、時間スケーリングによる $[0,1]$ への変換において観測値の時系列的順序を保持する。
• 極値の重複しないクラスタに基づく経験的点過程を定義し、$n$ に応じてクラスタサイズを増加させることで時系列的構造を維持する。
• $J_1$ 位相が失敗する状況では、古典的 $D([0,1])$ 空間の代わりに、装飾付き càdlàg 関数の空間 $E([0,1])$ を用いて部分和の極限を記述する。
• $[0,1] \times (0,\frown\big)\times \tilde{l}_0$ 上のポアソン点過程を構成し、強度を $Leb \times d(-\theta y^{-\theta}) \times \nu_{\boldsymbol{Q}}$ とする。ここで $\boldsymbol{Q}$ は定常的な確率変数の系列である。
• Fubini の定理と劣化収束定理を適用し、極限確率変数 $V(1)$ の特性関数を導出する。積分は $y^{-2}dy$ および対数項を含む。
• Sato (1999) の積分表現を用いて、極限 Lévy 確率過程の特性指数を導出する。$|z|$、$
  \text{sgn}(z)\text{log}|z|$、および線形ドリフト項を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的 $J_1$ 位相が依存的かつ正規化可能に変動する系列において失敗する一般設定下で、部分和に対する関数極限定理を確立できるか？
• RQ2 時間スケーリングにより $[0,1]$ にした際、極値の時系列的順序を極限で保持する方法は何か？
• RQ3 一般連続的分布を持つ定常的かつ依存的な系列における記録時刻の極限分布は何か？
• RQ4 どのような依存性条件下で記録時刻過程は複合スケール不変ポアソン過程に収束するか？
• RQ5 部分和の極限は $D([0,1])$ 以外の空間で記述可能か？そのような空間の構造は何か？

主な発見

• 部分和 $S_{\flor nt\rfloor}$ は、極値のクラスタ構造と時系列的順序を捉える空間 $E([0,1])$ 内の過程に弱収束する。
• 走査最大値の極限は、単調性のおかげで古典的 $D([0,1])$ 空間にとどまり、標準的な関数極限定理の定式化を可能にする。
• スケーリング後の記録時刻は分布収束として複合スケール不変ポアソン過程に収束し、依存的系列における記録のクラスタリングを反映する。
• 極限 $V(1)$ の特性関数は $ \text{log}\b{E}[e^{izV(1)}] = -\frac{\theta\tau}{2}|z|\big(1 + i\frac{2}{\theta}\text{sgn}(z)\text{log}|z|\big) + iaz $ として導出され、ここで $ \tau = \b{E}[|S|] $、$ a $ は $ \text{log}|Q_j| $ および $ \text{log}|S| $ の期待値を含む。
• 記録時刻の極限過程は、部分和過程よりも単純であり、記録出現におけるクラスタ形成に起因する複合構造が生じる。
• 本手法は、標準的 $J_1$ 収束が失敗する時間系列モデル（例：$m$-依存線形過程）の広いクラスに適用可能であり、従来理論を凌駕するより広範な適用可能性を示している。