[論文レビュー] An alternate way to obtain the aberration expansion in Helmholtz Optics

Sameen Ahmed Khan|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2002

Photonic Crystal and Fiber Optics参考文献 34被引用数 21

ひとこと要約

本論文は、ヘルムホルツ光学における像収差展開の代替的導出を提示する。これは、ヘルムホルツ方程式とクライン＝ゴルドン方程式の代数的類似性に着目し、フェシュバッハ＝ヴィラース線形化とフォールディ＝ウウスエン反復対角化を用いる。この手法により、波長依存性を持つ光学ハミルトニアンが得られ、従来の像収差係数が修正される。特に、軸対称的勾配屈折率ファイバに対して、明示的な3次補正項が導出される。

ABSTRACT

Exploiting the similarities between the Helmholtz wave equation and the Klein-Gordon equation, the former is linearized using the Feschbach-Villars procedure used for linearizing the Klein-Gordon equation. Then the Foldy-Wouthuysen iterative diagonalization technique is applied to obtain a Hamiltonian description for a system with varying refractive index. Besides reproducing all the traditional quasiparaxial terms, this method leads to additional terms, which are dependent on the wavelength, in the optical Hamiltonian. This alternate prescription to obtain the aberration expansion is applied to the axially symmetric graded index fiber. This results in the wavelength-dependent modification of the paraxial behaviour and the aberration coefficients. Explicit expression for the modified coefficients of the aberration to third-order are presented. Sixth and eighth order Hamiltonians are derived for this system.

研究の動機と目的

• ヘルムホルツ光学における像収差展開を導出する代替的形式主義を構築すること。その際、クライン＝ゴルドン方程式との代数的類似性を活用する。
• 従来の準軸近似とは異なり、波長依存性を持つ補正項を光学ハミルトニアンに組み込むこと。
• この形式主義が、標準的な像収差係数を修正する軸対称的勾配屈折率媒体への適用可能性を示すこと。
• 特に行列形式において共通する代数的構造を通じて、光の光学と荷電粒子ビーム光学の統一的取り扱いを図ること。
• 量子力学における $\hbar \to 0$ の極限に類似した、小波長 ($\lambda \to 0$) の極限において、古典的（従来の）極限を回復すること。

提案手法

• 相対論的量子力学におけるクライン＝ゴルドン方程式に用いられるのと同様の方法で、フェシュバッハ＝ヴィラース手順を用いてヘルムホルツ方程式を線形化する。
• 線形化されたハミルトニアンにフォールディ＝ウウスエン反復対角化法を適用し、明示的な波長依存性を持つ準軸近似光学ハミルトニアンを導出する。
• スピン項がディラック理論において果たす役割に類似した、偏光に類似た項を含む行列形式の光学ハミルトニアンを導出する。
• 得られたハミルトニアンを用いて、軸対称系における準軸近似下で、像収差係数を3次まで計算する。
• 高次像収差を捉えるために、勾配屈折率ファイバに対して6次および8次ハミルトニアンを構築する。
• 導出されたハミルトニアンを従来の規定と比較し、$\lambda \to 0$ の極限で一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘルムホルツ光学における像収差展開は、クライン＝ゴルドン方程式との代数的類似性に基づく、量子力学的類似形式主義を用いて導出可能か？
• RQ2 勾配屈折率媒質において、標準的な像収差係数にどのような波長依存補正が生じるか？
• RQ3 行列形式のハミルトニアンに現れる偏光に類似た項は、光ビームの準軸的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 この新しい形式主義は、従来のフェルマーの原理に基づくアプローチをどのように一般化するか？
• RQ5 この量子的インスピレーションを受ける光学形式主義において、古典的極限（$\lambda \to 0$）はどのように回復されるか？

主な発見

• この形式主義により、従来の準軸近似に存在しない波長依存項を含むハミルトニアンが得られる。
• 軸対称的勾配屈折率ファイバにおいて、標準的な6つの像収差係数が明示的な波長依存寄与によって修正される。
• 修正された像収差係数の明示的3次式が導出され、屈折率勾配および波長の影響が明らかになる。
• 6次および8次ハミルトニアンが構築され、標準的な準軸展開を超えた高次像収差解析が可能になる。
• $\lambda \to 0$ の極限において、従来のビーム光学的結果が再現され、古典的光学と的一致が確認される。
• ハミルトニアンの行列構造は、ディラック理論およびクライン＝ゴルドン理論との深い類似性を示しており、特に偏光に類似た項の出現が顕著である。