[論文レビュー] An alternative theorem for gradient systems

Biagio Ricceri|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

この論文はバナッハ空間における勾配系について、代替定理を確立し、$ C^1 $汎関数 $ \Phi: X \times Y \to \mathbb{R} $ に対して、あるサドル点が存在するか、すべての稠密な凸部分集合 $ S \subseteq Y $ に対して、$ \Phi(\cdot, \tilde{y}) $ が $ X $ 内で少なくとも3つの臨界点を持ち、そのうち2つがグローバル最小点であるような $ \tilde{y} \in S $ が存在することを証明する。この結果は非協力的楕円型系に応用され、強制性および凸性の条件下で非自明な解の存在を保証する。

ABSTRACT

In this paper, given two Banach spaces $X, Y$ and a $C^1$ functional $Φ:X imes Y o {\bf R}$, under general assumptions, we show that either $Φ$ has a saddle-point in $X imes Y$ or, for each convex and dense set $S\subseteq Y$, there is some $ ilde y\in S$ such that $Φ(\cdot, ilde y)$ has at least three critical points in $X$, two of which are global minima. Also, an application to non-cooperative elliptic systems is presented.

研究の動機と目的

• 反射的バナッハ空間 $ X, Y $ における積空間 $ X \times Y $ 上の $ C^1 $ 泛関数に対して、一般化されたミニマックス型代替定理を確立すること。
• サドル点の存在または $ \Phi(\cdot, y) $ がいくつかの $ y \in Y $ に対して複数の臨界点を持つことの両立を証明することにより、勾配系の可解性を解明すること。
• ファン＝シオンの定理のような古典的定理を越えた抽象的なミニマックス結果を、非協力的状況に拡張すること。
• 抽象的結果を非協力的楕円型系に応用し、$ L^\infty(\Omega) \times L^\infty(\Omega) $ 内に非自明な弱解の存在を証明すること。

提案手法

• 弱位相および弱下半連続性を用いて、$ X \times Y $ 上での上界および下界の達成とコンパクト性を分析する。
• エーベルシュタイン＝スマリアンの定理を応用し、最小化列の弱列コンパクト性を保証する。
• 式 (3) における $ J_x' $ のコンパクト性と成長制御を用いて、$ \Phi(\cdot, y) $ のパラ・スメイ・条件を検証する。
• 関数 $ \Phi(x,y) = \frac{1}{2}(\|x\|_X^2 - \|y\|_Y^2) - J(x,y) $ への還元により、定理 1 の適用を可能にする。
• 上界と下界の不等式 $ \sup_Y \inf_X \Phi < \inf_X \sup_Y \Phi $ を用いて、代替ケースを引き出す。
• 文献 [20] の定理 1.1 および文献 [8] の推論 1 を適用し、$ \Phi(\cdot, \tilde{y}) $ が少なくとも3つの臨界点を持つことを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射的バナッハ空間 $ X, Y $ 上の $ C^1 $ 泛関数 $ \Phi: X \times Y \to \mathbb{R} $ が、$ \Phi(x^*,y^*) = \inf_X \Phi(\cdot,y^*) = \sup_Y \Phi(x^*,\cdot) $ を満たすサドル点をもつための条件は何か？
• RQ2 このようなサドル点が存在しない場合、ある $ \tilde{y} \in S $ に対して $ \Phi(\cdot, \tilde{y}) $ が少なくとも3つの臨界点を持ち、そのうち2つがグローバル最小点であることを保証する条件は何か？
• RQ3 この抽象的代替定理を非協力的楕円型系に応用し、非自明な解の存在を保証できるか？
• RQ4 $ y $ が稠密な凸部分集合 $ S \subseteq Y $ 内にあるとき、$ \Phi(\cdot, y) $ が強制性およびパラ・スメイ・条件を満たすための条件は何か？
• RQ5 抽象的結果を用いて、非協力的楕円型偏微分方程式系における $ L^\infty $ 解の存在をどのように証明できるか？

主な発見

• サドル点が存在するか、すべての稠密な凸部分集合 $ T \subseteq S $ に対して、$ \tilde{y} \in T $ が存在し、$ \Phi(\cdot, \tilde{y}) $ が $ X $ 内で少なくとも3つの臨界点を持ち、そのうち2つがグローバル最小点である。
• ヒルバート空間 $ X, Y $ に対して、$ J $ が $ y $ に関して擬凸性および強制性を満たし、$ J_x' $ がコンパクトで、成長が準二次的であるならば、系 $ x = J_x'(x,y), y = -J_y'(x,y) $ にサドル点性質をもつ解が存在するか、あるいは $ \Phi(\cdot, \tilde{y}) $ に複数の臨界点が存在する。
• 非協力的楕円型系において、$ H(x,u,v) $ が $ H(x,0,0) = 0 $、局所的準二次的成長、および $ H_u \geq 0 $ を満たすならば、$ \lambda > \lambda^* $ のとき、$ L^\infty(\Omega) \times L^\infty(\Omega) $ 内に非自明な弱解が存在する。
• $ H(x,u,v) = \alpha(x)(F(u)G(v) - F(0)G(0)) $ で、$ F $ が非負、増加、準二次的であり、$ G $ が凸かつ正であるならば、$ \lambda > \lambda_\alpha^* $ のとき、$ L^\infty(\Omega) \times L^\infty(\Omega) $ 内に非自明な解が存在する。
• 解 $ (u^*, v^*) $ は非ゼロであり、$ L^\infty(\Omega) \times L^\infty(\Omega) $ に属する。$ v^* = 0 $ のとき $ u^* \neq 0 $ である。これはエネルギー汎関数の下界の厳密な減少性による。
• この結果は、$ u \mapsto H_u(x,u,v)/u $ が $ (0,\infty) $ で厳密に減少することに依存しており、固定された $ v $ に対して非ゼロ解の一意性を保証する。これと抽象的定理を組み合わせることで、非自明な解の存在が示される。