[論文レビュー] An analogue of the L\'{e}vy-Hin\v{c}in formula for bi-free infinitely divisible distributions

Yinzheng Gu, Hao-Wei Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、加法的双自由畳み込みに関して無限に可除であるコンパクトな台を持つ平面上の確率測度について、双自由版の Lévy-Hinłcin 公式を確立する。双自由コマリヤントと双自由極限定理を用いて、双自由無限に可除分布の積分表現を導出し、加法的双自由畳み込みセミ群およびコンパクトな台を持つ生成測度をもつ双自由 Lévy プロセスの存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we derive the bi-free analogue of the L\'{e}vy-Hin\v{c}in formula for compactly supported planar probability measures which are infinitely divisible with respect to the additive bi-free convolution introduced by Voiculescu. We also provide examples of bi-free infinitely divisible distributions with their bi-free L\'{e}vy-Hin\v{c}in representations. Furthermore, we construct the bi-free L\'{e}vy processes and the additive bi-free convolution semigroups generated by compactly supported planar probability measures.

研究の動機と目的

• 平面上の確率測度に対して、古典的および自由版の Lévy-Hinłcin 表現を双自由設定へと拡張すること。
• 双自由 R 変換および双自由コマリヤント母関数を用いて、双自由無限に可除分布を特徴付けること。
• コンパクトな台を持つ平面上の測度によって生成される加法的双自由畳み込みセミ群および双自由 Lévy プロセスを構成すること。
• 双自由ガウス分布や複合ポアソン分布などの明示的例（例：⊞⊞-無限に可除）を提示すること。

提案手法

• 射影をもつ非可換確率空間における双自由コマリヤントおよびモーメント-コマリヤント公式を用いる。
• 双自由極限定理を適用して、無限に可除分布に対する双自由 Lévy-Hinłcin 表現を導出する。
• 圧縮代数 (pAp, ϕpAp) を用いて、元のペア (a,b) のコマリヤントと (pta)p, (ptb)p のコマリヤントを関連付ける。
• 恒等式 κpAp_m+n = t·κm+n(a,...,a,b,...,b) を用いて、コマリヤントが t に対して線形にスケーリングされることを示し、セミ群の性質を確立する。
• モーメント-コマリヤント公式および正定値条件を用いて、各 t ≥ 1 に対して代表測度 µt の存在を証明する。
• t ↦ µt の弱*連続性を、t におけるモーメントおよびコマリヤントの連続性によって確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的双自由畳み込みに関して、コンパクトな台を持つ平面上の確率測度に対する双自由版の Lévy-Hinłcin 公式は何か？
• RQ2 双自由 R 変換およびコマリヤント列を用いて、双自由無限に可除分布をどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 コンパクトな台を持つ平面上の測度に対して、加法的双自由畳み込みセミ群は存在するのか。また、明示的に構成可能か？
• RQ4 このような測度から双自由 Lévy プロセスを定義・構成可能か。また、そのセミ群性とは何か？

主な発見

• 双自由 Lévy-Hinłcin 公式が導出され、R² 上の双自由無限に可除分布に対する完全な積分表現が得られた。
• 双自由畳み込みセミ群 µt のコマリヤントは、すべての t ≥ 1 に対して κµt_m,n = t·κµ_m,n を満たし、線形スケーリングが保証された。
• 加法的双自由畳み込みセミ群 (µt)t≥1 の存在が証明され、µs ⊞⊞ µt = µs+t かつ µ1 = µ を満たすことが示された。
• 写像 t ↦ µt は弱*連続であり、測度の位相においてセミ群が適切に定義されていることが保証された。
• 双自由ガウス分布や複合ポアソン分布などの明示的例が ⊞⊞-無限に可除であることが示された。
• 双自由 Lévy プロセスは、有限次元分布がセミ群 (µt)t≥1 をなす時不変な過程として構成された。