[論文レビュー] An analysis of the L1 Scheme for the subdiffusion equation with nonsmooth data

Bangti Jin, Raytcho Lazarov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 24被引用数 57

ひとこと要約

本稿は、$α \in (0,1)$ の Caputo 分数階微分を有するサブディフュージョン方程式に対する L1 スキームを再検討し、滑らかでない初期データに対しても $O(\tau)$ の収束速度を確立している。これは解が時間に関して $C^2$ 正則性を持たない場合でも成立する。解析は一般のセクター型作用素および空間時間分数マクロ拡散方程式へと拡張され、数値実験により誤差推定の鋭さと頑健性が確認されている。

ABSTRACT

The subdiffusion equation with a Caputo fractional derivative of order $α\in(0,1)$ in time arises in a wide variety of practical applications, and it is often adopted to model anomalous subdiffusion processes in heterogeneous media. The L1 scheme is one of the most popular and successful numerical methods for discretizing the Caputo fractional derivative in time. The scheme was analyzed earlier independently by Lin and Xu (2007) and Sun and Wu (2006), and an $O(τ^{2-α})$ convergence rate was established, under the assumption that the solution is twice continuously differentiable in time. However, in view of the smoothing property of the subdiffusion equation, this regularity condition is restrictive, since it does not hold even for the homogeneous problem with a smooth initial data. In this work, we revisit the error analysis of the scheme, and establish an $O(τ)$ convergence rate for both smooth and nonsmooth initial data. The analysis is valid for more general sectorial operators. In particular, the L1 scheme is applied to one-dimensional space-time fractional diffusion equations, which involves also a Riemann-Liouville derivative of order $β\in(3/2,2)$ in space, and error estimates are provided for the fully discrete scheme. Numerical experiments are provided to verify the sharpness of the error estimates, and robustness of the scheme with respect to data regularity.

研究の動機と目的

• 既存の L1 スキーム収束解析が時間に関して $C^2$ 正則性を仮定しているという制限を克服すること。これは滑らかでない初期データでは成立しない。
• 初期データに最小限の正則性仮定のもとで、L1 スキームの $O(\tau)$ 収束速度を厳密に確立すること。
• 誤差解析を、空間時間分数拡散方程式に現れるような一般のセクター型作用素へと拡張すること。
• 数値実験を通じて理論的結果の正当性を検証し、誤差推定の鋭さと頑健性を示すこと。

提案手法

• 時間微分の分(piecewise linear)近似を用いて、Caputo 分数階微分に対する L1 スキームを再定式化する。
• ラプラス変換技術に基づく母関数法を用いて局所切り捨て誤差を分析する。
• セクター型作用素の性質および分数マクロ拡散半群の滑らか化効果を用いて誤差バインディングを導出する。
• リーマン＝リウヴィル空間微分を有する空間時間分数拡散方程式に対する完全離散有限要素または有限差分スキームに解析を適用する。
• $L^2$-ノルムにおけるエネルギー法および安定性推定を用いて、時間的および空間的誤差を制御する。
• 均等および非均等な時間メッシュ上での数値実験を通じて、理論的収束速度の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない初期データを有するサブディフュージョンにおいて、古典的な $C^2$ 正則性仮定が成立しない場合に、L1 スキームが 1 階収束を達成できるか。
• RQ2 解が $t=0$ で特異性を示す場合、L1 スキームの最適収束速度は何か。
• RQ3 初期データの正則性、特に $t \to 0$ の極限における誤差の振る舞いはどのように依存するか。
• RQ4 誤差解析を、空間時間分数拡散方程式に現れるような一般のセクター型作用素へと拡張可能か。
• RQ5 空間時間分数モデルにおける $\alpha$ および $\beta$ の異なる値に対しても、$O(\tau)$ 収束速度は頑健か。

主な発見

• 解が時間に関して $C^2$ 正則性を持たない場合でも、滑らかでない初期データに対し、L1 スキームは $L^2$-ノルムにおいて $O(\tau)$ の収束速度を達成する。
• $\alpha \in (0,1)$ に対して収束速度は頑健であり、数値実験により $t=0.1$、$t=0.01$、$t=0.001$ においても 1 階収束が確認された。
• 空間時間分数拡散方程式（$\beta \in (3/2,2)$）に対して、適切な正則性のもとで完全離散スキームは $O(\tau + h^2)$ の誤差推定を達成する。
• 滑らかでない初期データに対して、誤差は $t \to 0$ で $t^{\alpha}$ のように振る舞い、定理 4.1 の理論的推定の鋭さが裏付けられた。
• 数値結果から、$\alpha$、$\beta$、初期データの種別に関係なく収束速度が概ね 1.0 のままであり、頑健性が示された。
• 理論的解析は一般のセクター型作用素に対して有効であり、L1 スキームの適用範囲を標準的な楕円型作用素を超えて拡張した。