[論文レビュー] An Anti-Ramsey Problem Concerning Complete Bipartite Graphs

Stephan Cho, Jay Cummings+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、完全二部グラフ $K_{m,n}$ の任意の適切な辺彩色がランダムな $K_{a,b}$ 部分グラフを含むための十分条件を確立する。すなわち、$m \geq a$ かつ $n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$ ならば、$K_{m,n} \rightarrow_R K_{a,b}$ が成り立つ。主な貢献は、有限射影平面との関連を用いて、この境界が無限個のパラメータに対してタイトであることを証明し、完全二部グラフにおける頂点および辺の最小性に基づく新しいアンチラムゼー数を導入したことにある。

ABSTRACT

We consider quadruples of positive integers $(a,b,m,n)$ with $a\leq b$ and $m\leq n$ such that any proper edge-coloring of the complete bipartite graph $K_{m,n}$ contains a rainbow $K_{a,b}$ subgraph. We show that any such quadruple with $a\leq m$ and $n>(a^2-a+1)(b-1)$ satisfies this property. We also show that the quadruple $(2,3,3,6)$ satisfies this property. We end with a conjecture.

研究の動機と目的

• 完全二部グラフ $K_{m,n}$ のすべての適切な辺彩色がランダムな $K_{a,b}$ 部分グラフを含む条件を特定すること。
• 適切な辺彩色のもとでランダムな $K_{a,b}$ 部分グラフの存在を強制する最小の完全二部グラフ $K_{m,n}$ を特定すること。
• 最小のこのようなグラフの頂点数（$AR_V$）および辺数（$AR_E$）に基づいて、新しいアンチラムゼー数を定義し、計算すること。
• パラメータ $a-1$ が素数のべきである場合に、有限射影平面を用いて境界 $n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$ の鋭さを調査すること。

提案手法

• 適切な辺彩色された完全二部グラフとランディアンレクトアンプの間の標準的対応関係を用い、アンチラムゼー問題をレクトアンプ内の記号分布に関する組合せ問題に変換する。
• 列数に関する帰納法を適用し、$n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$ ならば、対応する $a \times n$ ランディアンレクトアンプにランダムな $a \times b$ 部分レクトアンプが存在することを示す。
• 射影平面の巡回自己同型に関するシンクラーの定理を活用し、$a-1$ が素数のべきである場合に、ランダムな $a \times 2$ 部分レクトアンプを含まない $a \times (a^2 - a + 1)$ ランディアンレクトアンプを構成する。
• 射影平面の構造を用いて、境界 $n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$ が無限個のパラメータに対して鋭いことを証明する。
• 頂点アンチラムゼー数 $AR_V(K_{a,b})$ を、$K_{m,n} \rightarrow_R K_{a,b}$ を満たす最小の頂点数として定義し、同様に辺アンチラムゼー数 $AR_E(K_{a,b})$ を定義する。
• 組合せ的数え上げと極値的議論を用いて、$a$ と $b$ に関する特定の条件下で $AR_V(K_{2,b}) = 3b$ および $AR_E(K_{a,b}) = a^2(a-1)(b-1) + ab$ が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $m$, $n$, $a$, $b$ についてどのような条件下で、$K_{m,n}$ のすべての適切な辺彩色がランダムな $K_{a,b}$ 部分グラフを含むか？
• RQ2 ランダムな $K_{a,b}$ 部分グラフの存在に関して、境界 $n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$ は鋭いか？
• RQ3 ランダムな $K_{a,b}$ 部分グラフの存在を強制する最小の完全二部グラフ $K_{m,n}$ は、頂点数または辺数の観点から特徴付けられるか？
• RQ4 $b \geq 2$ のとき、頂点アンチラムゼー数 $AR_V(K_{2,b})$ の値は何か？
• RQ5 どのような条件下で $AR_E(K_{a,b}) = a^2(a-1)(b-1) + ab$ が成り立つか？

主な発見

• 本稿は、$m \geq a$ かつ $n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$ ならば、$K_{m,n}$ のすべての適切な辺彩色がランダムな $K_{a,b}$ 部分グラフを含むことを証明している。
• 境界 $n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$ は、$a-1$ が素数のべきである場合に無限個のパラメータに対して鋭い。このとき、$K_{a, (a^2 - a + 1)(b - 1)}$ に対して、ランダムな $K_{a,b}$ 部分グラフを含まない適切な辺彩色が存在する。
• すべての整数 $b \geq 2$ に対して、頂点アンチラムゼー数 $AR_V(K_{2,b})$ は正確に $3b$ に等しい。これは、$K_{2,3b-2}$ はランダムな $K_{2,b}$ を保証しないが、$K_{2,3b-1}$ は保証することを意味する。
• 辺アンチラムゼー数 $AR_E(K_{a,b})$ は、$a-1$ が素数のべきであり、$b \geq a(a-1)$ であるとき、$a^2(a-1)(b-1) + ab$ に等しく、このようなグラフにおいて最小である。
• ランダムな $a \times 2$ 部分レクトアンプを含まない $a \times (a^2 - a + 1)$ ランディアンレクトアンプの構成は、$a-1$ が素数のべきである場合に限り可能であり、極値問題が有限射影平面と関連していることを示している。
• 本稿は、適切な辺彩色を前提とした完全二部グラフにおける、初めて知られる頂点および辺のアンチラムゼー数の値を導入し、計算している。