[論文レビュー] An application of free Lie algebras to current algebras and their representation theory

Vyjayanthi Chari, Jacob Greenstein|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Kac-Moody Lie代数と自由Lie代数を含む半直積の商として、現在の代数の新しい実現が提示される。これにより、テンソル代数内の$Γ$-不変イデアルを用いた表現の体系的構成が可能になる。主な貢献は、このようなイデアルと現在の代数の表現との間の自然な対応関係を確立し、キリロフ＝レシェティヒンモジュールの古典的極限や基本的ウェイルモジュールを含む明示的な族の構成を可能にする。

ABSTRACT

We realize the current algebra of a Kac-Moody algebra as a quotient of a semi-direct product of the Kac-Moody Lie algebra and the free Lie algebra of the Kac-Moody algebra. We use this realization to study the representations of the current alg ebra. In particular we see that every ad-invariant ideal in the symmetric algebra of the Kac-Moody algebra gives rise in a canonical way to a representation of the current algebra. These representations include certain well-known families of representations of the current algebra of a simple Lie algebra. Another family of examples, which are the classical limits of the Kirillov-Reshe tikhin modules, are also obtained explicitly by using a construction of Kostant. Finally we study extensi ons in the category of finite dimensional modules of the current algebra of a simple Lie algebra.

研究の動機と目的

• 自由Lie代数と不変イデアルを用いた、現在の代数の表現を研究するための新しい代数的枠組みの構築。
• Lie代数のテンソル代数における$Γ$-不変イデアルとその現在の代数の表現との間の自然な対応関係の確立。
• キリロフ＝レシェティヒンモジュールの古典的極限や基本的ウェイルモジュールを含む、明示的な表現族の構成。
• 現在の代数表現のカテゴリにおける有限次元モジュール間の拡張の計算。
• 消滅作用素と重み空間の条件を用いた現在の代数モジュールの完全可約性の特徴付け。

提案手法

• 自由Lie代数$F(χ)$を用いて、現在の代数$χ[t]$を半直積$Σ ⋂ F(χ)$の商として実現する。
• 核が$Σ$（随伴作用の下で0に写る要素の階数付きイデアル）であるLie代数準同型$τ[t]: F(χ) → χ[t]t$を定義する。
• $χ$が$T(χ)$上で作用することを用いて、$Σ$をテンソル代数における$χ$-不変イデアルとして特定する。
• テンソル代数$T(χ)$内の$χ$-不変イデアル$Σ$（$Σ$を含むもの）から、商$T(χ)/Σ$を介して$χ[t]$の表現を構成する。
• コスタントの構成を適用し、基本的ウェイルモジュールとキリロフ＝レシェティヒンモジュールを特別な場合として実現する。
• $χ$-モジュール構造を用いて、不可約有限次元モジュール間の$Σ^1(χ[t])$-拡張を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現在の代数$χ[t]$は、自由Lie代数と半直積を用いてどのように体系的に実現できるか？
• RQ2 $T(χ)$における$χ$-不変イデアルと$χ[t]$の表現との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 この構成から得られる既知の現在の代数表現族は何か、特にキリロフ＝レシェティヒンモジュールの古典的極限は？
• RQ4 どのような条件下で$χ[t]$-モジュールが完全可約になるか？
• RQ5 不可約有限次元$V$に対して、$\operatorname{Ext}^1_{χ[t]}(χ, V)$の次元は何か？

主な発見

• 現在の代数$χ[t]$は、半直積$χ ⋂ F(χ)$の$τ[t]$の核による商として同型である。この核は$F(χ)$内の階数付きイデアルである。
• テンソル代数$T(χ)$における$χ$-不変イデアル$Σ$（$Σ$を含むもの）は、すべて$χ[t]$の表現$V(Σ)$を導く。
• キリロフ＝レシェティヒンモジュールの古典的極限は、$x ⊗ y - y ⊗ x$の形の要素によって生成されるイデアルによる$T(χ)$の商として実現される。
• $χ$が単純であるとき、$Σ^1_{χ[t]}(χ, V) = 1$（$V cong χ(\operatorname{ad}, a\operatorname{ad})$のとき）、それ以外は$0$。
• $χ[t]$-モジュール$V$が完全可約であるための必要十分条件は、相異なる$a_i ∈ Χ$とベクトル$v_j$が存在し、$x^{-}Ø Ø (t - a_1)Ø Ø (t - a_k)v_j = 0$が成り立つことである。
• $\operatorname{Ext}^1_{χ[t]}(χ, V)$の次元は、$V cong χ(\operatorname{ad}, a\operatorname{ad})$のとき$1$、それ以外は$0$。この結果は双対性により、任意の不可約モジュールに拡張可能である。