[論文レビュー] An Approach to Discrete Quantum Gravity

Stanley Gudder|arXiv (Cornell University)|May 22, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、因果集合（causets）に基づく量子逐次成長過程（QSGP）を用いて、離散的量子重力の統一的枠組みを提案する。経路ヒルベルト空間と量子測度は、整合性条件を満たす正の作用素から導出される。主な貢献は、曲率作用素を用いたアインシュタイン場方程式の離散的類似であり、離散的一般相対性理論と量子場理論を統合する量子測度空間を提供する。古典的極限では、曲率が消えるのは、複数の生産者を持つ因果集合に対して特定の非一般的な条件が満たされる場合に限る。

ABSTRACT

This article presents a simplified version of the author's previous work. We first construct a causal growth process (CGP). We then form path Hilbert spaces using paths of varying lengths in the CGP. A sequence of positive operators on these Hilbert spaces that satisfy certain normalization and consistency conditions is called a quantum sequential growth process (QSGP). The operators of a QSGP are employed to define natural decoherence functionals and quantum measures. These quantum measures are extended to a single quantum measure defined on a suitable collection of subsets of a space of all paths. Continuing our general formalism, we define curvature operators and a discrete analogue of Einstein's field equations on the Hilbert space of causal sets. We next present a method for constructing a QSGP using an amplitude process (AP). We then consider a specific AP that employs a discrete analogue of a quantum action. Finally, we consider the special case in which the QSGP is classical. It is pointed out that this formalism not only gives a discrete version of general relativity, there is also emerging a discrete analogue of quantum field theory. We therefore have discrete versions of these two theories within one unifying framework.

研究の動機と目的

• 古典的逐次成長過程を量子逐次成長過程（QSGP）に置き換えることで、離散的量子重力の簡素化された直接的定式化を構築すること。
• 経路ヒルベルト空間上の一貫性・正規化された正の作用素を用いて、因果集合の経路空間上の量子測度空間を定義すること。
• 因果集合のヒルベルト空間上での曲率作用素を用いて、アインシュタイン場方程式の離散的類似を構築すること。
• QSGPと振幅過程を用いて、離散的一般相対性理論と離散的量子場理論を一つの形式的枠組みで統一すること。
• QSGPの古典的極限を分析し、曲率作用素が消える条件を特定すること。

提案手法

• 有限な因果集合（causets）から因果的成長過程（CGP）を構築し、各段階で最大元を一つ追加することで成長させる。
• CGPにおける長さ $ n $ の $ n $-経路から、経路ヒルベルト空間 $ H_n = L_2(\Omega_n) $ を定義し、可測空間 $ (\Omega, \mathcal{A}) $ を形成する。
• 正規化され、一貫性を満たす作用素 $ \rho_n $ の列として、量子逐次成長過程（QSGP）を定義する。
• デコherence関数 $ D_n(A,B) $ と量子測度 $ \mu_n(A) = D_n(A,A) $ を定義し、適切な集合 $ \mathcal{S}(\Omega) \subseteq \mathcal{A} $ 上でグローバルな量子測度 $ \mu $ に拡張する。
• 離散的時空曲率をモデル化するため、$ L_2(\mathcal{P}) \otimes L_2(\mathcal{P}) $ 上に曲率作用素 $ \mathcal{R}_{\omega,\omega'} $ を定義する。
• 振幅過程（APs）を用いてQSGPを構築し、離散的量子作用を含めることで物理的に妥当な遷移振幅を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一貫性・正規化・一貫性を満たす作用素の列を用いて、因果集合の経路空間上に整合的な量子測度空間を構築できるか？
• RQ2 曲率作用素を用いて、因果集合のヒルベルト空間上にアインシュタイン場方程式の離散的類似を定義する方法は何か？
• RQ3 QSGPの古典的極限において、曲率作用素が消える条件は何か？
• RQ4 QSGP形式的枠組みは、離散的一般相対性理論と離散的量子場理論を一つの枠組みで統一できるか？
• RQ5 曲率作用素の消滅が、特に複数の子を持つ因果集合に関して、量子測度にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 量子測度 $ \mu $ は、集合 $ \mathcal{S}(\Omega) $ 上で適切に定義されており、$ \mu(A) = \lim_{n \to \infty} \mu_n(A^n) $ が存在する。
• すべての $ \omega, \omega' \in \Omega $ に対して $ \widehat{\mathcal{R}}_{\omega,\omega'} = 0 $ であるのは、すべての生産者を複数持つ因果集合 $ x $ に対して $ \mu(x) = 0 $ であるときかつそのときに限る。
• $ \mathcal{T}_{\omega,\omega'} $ はすべての $ \omega, \omega' \in \Omega $ に対して非ゼロであり、古典的極限において $ \mathcal{R}_{\omega,\omega'} \neq 0 $ であるため、時空曲率が普遍的に消えることはない。
• 確率測度のもとでは、すべての $ x $ に対して $ \mu(x) = 0 $ となることは不可能であるため、$ \mathcal{T}_{\omega,\omega'} \neq 0 $ は常に成り立つ。
• 古典的極限において $ \mathcal{D}_{\omega,\omega'} = 0 $ となるのは、すべての生産者を複数持つ $ x $ に対して $ \mu(x) = 0 $ であるときのみであり、これは非一般的な条件である。
• 本形式的枠組みは、QSGPと振幅過程に基づく単一の量子測度枠組みを通じて、離散的一般相対性理論と離散的量子場理論を成功裏に統一している。