[論文レビュー] An Einstein equation for discrete quantum gravity

Stan Gudder|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、離散的量子重力の因果セットアプローチにおけるアインシュタイン場方程式の離散的類似を提案する。ヒルベルト空間上の双差分作用素を用いて曲率作用素を定義することで、量子デコherence行列に関連する計量作用素と質量エネルギー作用素に曲率を分解し、一般相対性理論が離散的量子重力の連続極限として現れるかどうかを検証するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

The basic framework for this article is the causal set approach to discrete quantum gravity (DQG). Let $Q_n$ be the collection of causal sets with cardinality not greater than $n$ and let $K_n$ be the standard Hilbert space of complex-valued functions on $Q_n$. The formalism of DQG presents us with a decoherence matrix $D_n(x,y)$, $x,y\in Q_n$. There is a growth order in $Q_n$ and a path in $Q_n$ is a maximal chain relative to this order. We denote the set of paths in $Q_n$ by $Ω_n$. For $ω, ω'\inΩ_n$ we define a bidifference operator $\varbigtriangledown_{ω, ω'}^n$ on $K_n\otimes K_n$ that is covariant in the sense that $\varbigtriangledown_{ω, ω'}^n$ leaves $D_n$ stationary. We then define the curvature operator $ script_{ω, ω'}^n=\varbigtriangledown_{ω, ω'}^n-\varbigtriangledown_{ω', ω}^n$. It turns out that $ script_{ω, ω'}^n$ naturally decomposes into two parts $ script_{ω, ω'}^n=\dscript_{ω, ω'}^n+ script_{ω, ω'}^n$ where $\dscript_{ω, ω'}^n$ is closely associated with $D_n$ and is called the metric operator while $ script_{ω, ω'}^n$ is called the mass-energy operator. This decomposition is a discrete analogue of Einstein's equation of general relativity. Our analogue may be useful in determining whether general relativity theory is a close approximation to DQG.

研究の動機と目的

• 因果セットを用いた離散的量子重力の枠組みにおいて、アインシュタイン方程式の離散的類似を開発すること。
• 量子干渉構造を符号化したデコherence行列を保存する双差分作用素を用いて、離散的設定における曲率を定義すること。
• 曲率作用素を計量成分と質量エネルギー成分に分解し、一般相対性理論の構造を模倣すること。
• 一般相対性理論が離散的量子重力の連続極限として近似されるかどうかを検証するための形式的枠組みを提供すること。

提案手法

• 時空が因果関係を持つ離散的要素の部分順序集合としてモデル化される因果セットアプローチを用いる。
• サイズが $ \leq n $ 以下の因果セット上の複素数値関数のヒルベルト空間 $ K_n $ を定義し、量子干渉を符号化するデコherence行列 $ D_n(x,y) $ を導入する。
• $ K_n \otimes K_n $ 上に作用する、デコherence行列 $ D_n $ に対して共変である双差分作用素 $ \varbigtriangledown_{\omega,\omega'}^n $ を導入する。
• 曲率作用素 $ \mathcal{R}_{\omega,\omega'}^n = \varbigtriangledown_{\omega,\omega'}^n - \varbigtriangledown_{\omega',\omega}^n $ を定義し、これを二つの部分に分解する。
• $ \mathcal{D}_{\omega,\omega'}^n $ をデコherence行列 $ D_n $ に関連する計量作用素と特定し、$ \mathcal{T}_{\omega,\omega'}^n $ を質量エネルギー作用素と特定する。
• テンソル積空間 $ L_n = K_n \otimes K_n $ 上の標準基底ベクトル $ e_x^n $ とディラック記法を用いて、すべての作用素の行列要素表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因果セットアプローチにおける量子重力の枠組み内で、アインシュタイン方程式の離散的バージョンを定式化できるか？
• RQ2 デコherence行列に符号化された量子干渉構造から、どのように曲率が生じるか？
• RQ3 量子重力枠組みにおける計量およびエネルギー運動量テンソルの離散的類似は何か？
• RQ4 曲率が計量と質量エネルギー作用素に分解されることから、一般相対性理論が離散的量子重力の連続極限として現れるという仮説は妥当か？

主な発見

• 曲率作用素 $ \mathcal{R}_{\omega,\omega'}^n $ は自然に $ \mathcal{D}_{\omega,\omega'}^n + \mathcal{T}_{\omega,\omega'}^n $ に分解され、$ \mathcal{D}_{\omega,\omega'}^n $ はデコherence行列 $ D_n $ に関連し、計量作用素としての役割を果たす。
• 作用素 $ \mathcal{T}_{\omega,\omega'}^n $ は、一般相対性理論におけるエネルギー運動量テンソルに類似した質量エネルギー作用素であると特定された。
• 双差分作用素 $ \varbigtriangledown_{\omega,\omega'}^n $ は、その作用の下でデコherence行列 $ D_n $ を不変に保つ意味で共変である。
• 正規直交基底を $ K_n $ および $ L_n = K_n \otimes K_n $ 上で用いることで、すべての作用素の行列要素表現を明示的に導出でき、具体的な計算が可能になった。
• この形式的枠組みは、一般相対性理論が離散的量子重力の連続極限において有効理論として現れるかどうかを検証するための候補となるフレームワークを提供する。