[論文レビュー] An approximation formula for the Katugampola integral

Ricardo Almeida, Nuno R. O. Bastos|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Katugampola分数積分の新しい近似式を提案する。この近似式は1階微分のみを用いており、分数量問題を通常の常微分方程式に変換する。近似パラメータNを大きくするに従い、正確な解に収束する高精度な手法であり、数値例および分数量積分方程式への応用を通じて検証されている。

ABSTRACT

The objective of this paper is to present an approximation formula for the Katugampola fractional integral, that allows us to solve fractional problems with dependence on this type of fractional operator. The formula only depends on first-order derivatives, and thus we convert the fractional problem into a standard one. With some examples we show the accuracy of the method, and then we present the utility of the method by solving a fractional integral equation.

研究の動機と目的

• Katugampola分数量積分作用素を含む分数量微分方程式および積分方程式を解くための実用的な数値手法を開発すること。
• 直接的な分数量積分の計算の複雑さを克服し、それを常微分方程式系に還元すること。
• Riemann–LiouvilleおよびHadamard分数量積分の既存の近似技術を、より一般的なKatugampola枠組みへ一般化すること。
• 物理学および工学分野の現実世界の分数量モデルに適用可能な計算効率が良く、収束性を示す手法を提供すること。
• 数値実験および既知の解析解を有するテスト用分数量積分方程式への応用を通じて、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 分数量αおよびパラメータρに依存する係数を含む級数展開を用いて、左Katugampola分数量積分の近似式を導出する。
• 初期条件を伴うCauchy問題として解かれる、x(τ)を(t^ρ - τ^ρ)^{k-1}で重み付けした積分として定義される補助関数W_k(t)を導入する。
• A、B_k係数およびW_k(t)を含む有限和として分数量積分を表現し、N → ∞ のとき消える剰余項E_N(t)を含む。
• 右Katugampola分数量積分に対しても同様のアプローチを適用し、対称的な近似式を得る。
• 近似式を元の分数量積分方程式に代入することで、常微分方程式系に還元する。
• MATLABなどの数値積分およびODEソルバを用いて、与えられたNおよびパラメータに対する変換済み系の解を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接的な分数量積分を避けるために、1階微分に基づくKatugampola分数量積分の近似式を構築できるか？
• RQ2 近似の精度は切り捨てパラメータNにどのように依存するか？Nを大きくするに従い誤差は0に収束するか？
• RQ3 提案された近似式は、分数量積分方程式を解ける常微分方程式系に効果的に変換できるか？
• RQ4 分数量αおよび形状パラメータρの異なる値に対して、この手法はどのように性能を示すか？
• RQ5 テスト関数に対して、近似の数値的挙動は正確な解析解と比較してどのように振る舞うか？

主な発見

• 近似誤差E_N(t)はN → ∞ のとき0に収束し、上界が1/N^αに比例することから理論的収束性が保証される。
• x(t) = t^{2ρ}というテスト関数に対して、数値的近似は正確な分数量積分とよく一致しており、Nを大きくするに従い誤差が減少する。
• 既知の解x(t) = t^{2ρ}を有する分数量積分方程式を解く際、中程度のNに対しても正確な解を高精度で回復できた。
• 図2の数値結果から、非整数および大きな分数量の値に対しても、本手法は多様なαおよびρの値において精度を維持していることが示された。
• 収束速度はO(1/N^α)で定量的に境界づけられており、誤差項E_N(t)はGamma関数およびBeta関数を用いて明示的に推定されている。
• 本手法により、複雑な分数量問題が通常のODE系に変換可能となり、数値的解法の大幅な簡素化が実現された。