[論文レビュー] An arithmetic invariant theory of curves from $E_8$

Avinash Kulkarni|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有理分岐点を持つ一意的三重的種数4曲線のヤコビアンの2 torsionセイラー群の要素と、特定の多様体上で作用する $E_8$ 型の分離的アドジョイント群の軌道の間の対応関係を確立する。算術的不変量論の技法を用いて、$E_7$ や双曲的曲線に対する以前の結果を一般化し、$E_8$-表現を用いた、特徴値0の文脈における、このような曲線上の有理点を研究するための標準的かつ不変の理論的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Let $k$ be a field of characteristic 0, let $C/k$ be a uniquely trigonal genus 4 curve, and let $P \in C(k)$ be a simply ramified point of the uniquely trigonal morphism. We construct an assignment of an orbit of an algebraic group of type $E_8$ acting on a specific variety to each element of $J_C(k)/2$. The algebraic group and variety are independent of the choice of $(C,P)$. We also construct a similar identification for uniquely trigonal genus 4 curves $C$ with $P \in C(k)$ a totally ramified point of the trigonal morphism. Our assignments are analogous to the assignment of a genus 3 curve with a rational point $(C,P)$ to an orbit of an algebraic group of type $E_7$ exhibited by Jack Thorne. Our assignment is also analogous to one constructed by Bhargava and Gross, who use it determine average ranks of hyperelliptic Jacobians.

研究の動機と目的

• 有理分岐点を持つ三重的種数4曲線に対して、$E_8$-表現を用いて算術的不変量論を拡張すること。
• 平面四次曲線に対するジャック・トーンの $E_7$-に基づく対応関係を $E_8$ の場合に一般化すること。
• 曲線の選択に依存しない、$J_C(k)/2$ の要素を $E_8$ に関連する多様体上の $G(k)$-軌道に割り当てる標準的割り当てを構成すること。
• 双曲的曲線に対するバルガヴァとグロスの研究に類似した枠組みを、三重的曲線に対して提供すること。
• 今後の研究におけるこの族における平均セイラー群サイズの研究の基盤を築くこと。

提案手法

• トーンの方法を適応し、標準的タプルの同型とトゥースグループを介してガロアコhomologyから $G(k)$-軌道を構成する。
• ウェイリングペアリングと $E_8$ 型の格子 $\Lambda$ を用いて、$J_C[2] \cong \Lambda/2\Lambda$ を $k$-群として同定する。
• $A \in J_C(k)$ と $[2]B = A$ を満たす2 torsionの上昇 $B$ の間のトゥースグループの同型を、$k^{\mathrm{sep}}$ 上で標準的に定義する。
• ガロア作用によるコycle構成を用い、同型 $F$ の上での作用を $[B^\sigma - B]$ と特定し、コホモロジーに結びつける。
• 標準的同型 $\operatorname{Hom}(\Lambda, \mathbb{G}_m)^{\mathrm{rss}}(k) \to T_0(k)$ を用い、$\varphi_0^{-1}(\kappa_C^0)$ を通じて $X_x(k)$ 上の $G(k)$-軌道を定義する。
• $G(k)\backslash X_x(k)$ と $H^1(k, Z_G(\varphi_0^{-1}(\kappa_C^0)))$ の間の双対性を確立し、$J_C(k)/2$ を通じて $H^1(k, J_C[2])$ へと写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理分岐点を持つ一意的三重的種数4曲線の算術的性質は、平面四次曲線に対する $E_7$ の場合と同様に、$E_8$-群の軌道によって記述可能だろうか？
• RQ2 このような曲線のヤコビアンの2セイラー群は、$E_8$-表現の軌道構造とどのように関係しているか？
• RQ3 有理点 $P$ や $[2]B = A$ を満たす上昇 $B$ の選択に依存しない、$J_C(k)/2$ の要素を $E_8$ に関連する多様体上の $G(k)$-軌道に割り当てる標準的かつ $k$-独立の割り当ては存在するか？
• RQ4 ウェイリングペアリングとトゥースグループの同型が、$k^{\mathrm{sep}}$ 上でのこの対応の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 この構成は、双曲的曲線に対するバルガヴァとグロスの研究を、非双曲的族へとどのように一般化するか？

主な発見

• 本稿は、$G$ を $E_8$ 型の分離的アドジョイント群とするとき、$J_C(k)/2$ の各要素を多様体 $X_x$ 上の $G(k)$-軌道に標準的かつ $k$-独立に割り当てる構成を提供する。
• この割り当ては単射であり、コブダリィ写像 $\delta: J_C(k)/2 \to H^1(k, J_C[2])$ を通じて因子化され、コホモロジー的リンクを確立する。
• 有理点 $P$ や上昇 $B$ の選択に依存しないのは、$k^{\mathrm{sep}}$ 上での標準的同型が存在するためである。
• $J_C(k)/2$ から $G(k)\backslash X_x(k)$ への写像は、ガロアコycle $\sigma \mapsto F^{-1}F^\sigma$ を通じて実現され、ここで $F$ はトゥースグループの同型から誘導される。
• この構成は、種数3曲線に対するトーンの $E_7$-に基づく対応関係を、種数4の三重的曲線に対する $E_8$-ケースに一般化する。
• この方法は、将来的にこのようなヤコビアンの2セイラー群の平均サイズを計算または評価するための枠組みを提供する。