[論文レビュー] Most hyperelliptic curves over Q have no rational points

Manjul Bhargava|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、有理数体上の超楕円曲線の genus $ g $ が増加するにつれて、有理点を持たない曲線の密度が 100% に近づくことを証明している。具体的には $ \rho_g = 1 - o(2^{-g}) $ である。証明は、有理点と表現 $ \mathbb{Z}^2 \otimes \mathrm{Sym}_2\mathbb{Z}^n $ における整数軌道の間の新しい関係を用い、幾何的数論的数え上げ法により、ほとんどの二進形式に対してこのような軌道が存在しないことを示している。これにより、ブラウアー・マインン障害が有理点の不在の主な理由であることが立証される。

ABSTRACT

By a hyperelliptic curve over Q, we mean a smooth, geometrically irreducible, complete curve C over Q equipped with a fixed map of degree 2 to P^1 defined over Q. Thus any hyperelliptic curve C over Q of genus g can be embedded in weighted projective space P(1,1,g+1) via an equation of the form C : z^2 = f(x,y) = f_0 x^n + f_1 x^{n-1} y + ... + f_n y^n where n=2g+2, the coefficients f_i lie in Z, and f factors into distinct linear factors over Q-bar. Define the height H(C) of C by H(C):=max{|f_i|}, and order all hyperelliptic curves over Q of genus g by height. Then we prove that, as g tends to infinity: 1) a density approaching 100% of hyperelliptic curves of genus g have no rational points; 2) a density approaching 100% of those hyperelliptic curves of genus g that have points everywhere locally fail the Hasse principle; and 3) a density approaching 100% of hyperelliptic curves of genus g have empty Brauer set, i.e., have a Brauer-Manin obstruction to having a rational point. We also prove positive proportion results of this type for individual genera, including g = 1.

研究の動機と目的

• genus $ g $ の $ \mathbb{Q} $ 上の超楕円曲線で有理点を持たないものの、$ g \to \infty $ のときの漸近的密度を特定すること。
• これらの曲線におけるハッセの原理の失敗が主にブラウアー・マインン障害によるものであることを確立すること。
• 偽 2-セレバー集合の平均サイズを分析し、それが genus とともに指数関数的に減少することを示し、これと有理点の障害を結びつけること。
• Faltings の定理を拡張し、超楕円曲線において、有理点の不在が高 genus において例外的ではなく、一般的であることを示すこと。

提案手法

• 超楕円曲線 $ z^2 = f(x,y) $ の有理点と、$ \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}) $ が $ \mathbb{Z}^2 \otimes \mathrm{Sym}_2\mathbb{Z}^n $ に作用する整数軌道との間の対応関係を構築する。ここで不変な二進形式は $ f $ である。
• 幾何的数論的手法を用いて、与えられた不変形式 $ f $ を持つようなそのような軌道の数を数え上げ、ほとんどの $ f $ に対してそのような軌道が存在しないことを示す。
• 偽 2-セレバー集合を、曲線の局所的可解な 2-被覆をパラメトライズする有限集合として定義し、この集合の要素もまたこのような軌道に対応することを示す。
• genus $ g $ の超楕円曲線について、偽 2-セレバー集合の平均サイズが $ o(2^{-g}) $ であることを証明し、これはほとんどの曲線がそのような被覆を持たないことを示している。
• 空の偽 2-セレバー集合はブラウアー・マインン障害を意味することを用い、この障害がハッセの原理の失敗を引き起こす主な要因であることを示している。
• 平均 2-セレバー集合サイズの公式 (47) の局所的要因を分析し、$ g \geq 2 $ のとき、特に無限遠点での要因が理論的な最大値を厳密に下回ることを示し、平均サイズが 1 よりも小さいことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus $ g $ の $ \mathbb{Q} $ 上の超楕円曲線で有理点を持たないものの、$ g \to \infty $ のときの漸近的密度は何か？
• RQ2 ブラウアー・マインン障害は、$ \mathbb{Q} $ 上の超楕円曲線におけるハッセの原理の失敗に対して、どの程度の寄与をしているか？
• RQ3 genus $ g $ の超楕円曲線の偽 2-セレバー集合の平均サイズは、$ g \to \infty $ のときどのように振る舞うか？
• RQ4 幾何的数論的手法を用いて、$ \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}) $ に対する整数軌道の不変量として現れる二進形式 $ n = 2g+2 $ のほとんどすべての形式が、そのような不変量として現れないことを示せるか？
• RQ5 $ g \geq 2 $ の局所的可解な超楕円曲線のうち、どの割合がブラウアー・マインン障害によってハッセの原理に失敗するか？

主な発見

• 有理数体上の genus $ g $ の超楕円曲線で有理点を持たないものの下界密度 $ \rho_g $ は、$ \rho_g = 1 - o(2^{-g}) $ を満たし、$ g \to \infty $ のとき、その割合は 100% に非常に速く近づく。
• genus $ g \geq 2 $ の局所的可解な超楕円曲線の正の割合がハッセの原理に失敗し、その障害はブラウアー・マインン条件に起因する。
• genus $ g $ の超楕円曲線の偽 2-セレバー集合の平均サイズは $ o(2^{-g}) $ であり、これは $ g $ が大きいとき、通常その集合が空であることを示している。
• $ g \geq 2 $ のとき、局所的可解な超楕円曲線の 2-セレバー集合の平均サイズは 1 よりも厳密に小さい。これは、特に無限遠点での局所的要因が理論的な最大値を厳密に下回っているためである。
• rough estimates に基づくと、genus $ g \geq 2 $ の超楕円曲線のうち、ハッセの原理に失敗する割合は $ g \geq 2 $ で 50% を超え、$ g \geq 10 $ では 99% を超える。
• genus 1 の曲線 $ z^2 = f(x,y) $ のうち、正の割合がハッセの原理に失敗する。これは、そのヤコビアンのルート数の議論により示され、その結果、2-セレバー群のサイズが正の割合の曲線で 2 に等しくならないことを示している。