[論文レビュー] An Asymptotic Analysis of Queues with Delayed Information and Time Varying Arrival Rates

Jamol Pender, Richard H. Rand+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2017

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、遅延情報と時間変動する到着レートを伴う2つの決定的流体キューイングモデルを分析し、漸近的手法を用いて、時間変動する到着レートがシステムの安定性に影響するのは、その周波数が臨界遅延周波数の2倍である場合に限ることを示している。主な貢献は、正弦的到着変動に起因するパラメトリック励振を考慮した洗練された安定性閾値の導出である。

ABSTRACT

Understanding how delayed information impacts queueing systems is an important area of research. However, much of the current literature neglects one important feature of many queueing systems, namely non-stationary arrivals. Non-stationary arrivals model the fact that customers tend to access services during certain times of the day and not at a constant rate. In this paper, we analyze two two-dimensional deterministic fluid models that incorporate customer choice behavior based on delayed queue length information with time varying arrivals. In the first model, customers receive queue length information that is delayed by a constant Delta. In the second model, customers receive information about the queue length through a moving average of the queue length where the moving average window is Delta. We analyze the impact of the time varying arrival rate and show using asymptotic analysis that the time varying arrival rate does not impact the critical delay unless the frequency of the time varying arrival rate is twice that of the critical delay. When the frequency of the arrival rate is twice that of the critical delay, then the stability is enlarged by a wedge that is determined by the model parameters. As a result, this problem allows us to combine the theory of nonlinear dynamics, parametric excitation, delays, and time varying queues together to provide insight on the impact of information in queueing systems.

研究の動機と目的

• 非定常的で時間変動する到着レートを伴うキューイングシステムにおいて、キュー長情報の遅延がシステム安定性に与える影響を調査すること。
• 実世界の応用例（医療や交通など）で一般的な時間変動する到着レートを組み込んだ、遅延情報の既存モデルを拡張すること。
• 時間変動する到着レートが、安定と不安定なシステムダイナミクスを分ける臨界遅延閾値をどのように変化させるかを特定すること。
• 漸近解析技術を適用して、周期的到着レートに起因するパラメトリック励振を考慮した修正された安定性閾値を導出すること。

提案手法

• 遅延情報下でのキュー長ダイナミクスを表すために2次元の決定的流体モデルを用いる。
• 遅延または移動平均キュー長情報に基づく多項ロジット関数を用いて顧客選択をモデル化する。
• 小振幅の時間変動する到着レートを伴う系を分析するため、一致する漸近展開および2変数展開法を適用する。
• 時間変動する到着レートを小振幅εの正弦的摂動とみなし、非時間変動平衡点まわりに展開する。
• 時間変動する到着レートの周波数とシステムパラメータに依存する修正された臨界遅延閾値を導出する。
• 遅延微分方程式の数値積分を用いて、漸近的予測による安定性およびホップ分岐の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変動する到着レートは、遅延情報付きキューイングシステムの臨界遅延閾値にどのように影響するか？
• RQ2 定常的到着レート下で安定なシステムにおいて、時間変動する到着レートが不安定性を誘発するのはどのような条件下か？
• RQ3 時間変動する到着レートの周波数が、臨界遅延周波数と相互作用することでシステム安定性を変化させるか？
• RQ4 漸近解析は、遅延情報と時間変動する到着レートを伴う流体モデルにおける周期的挙動（ホップ分岐）の発生を正確に予測できるか？

主な発見

• 時間変動する到着レートは、その周波数が臨界遅延周波数の正確に2倍でない限り、システムの安定性に影響しない。
• 到着レートの周波数が臨界遅延周波数の2倍である場合、モデルパラメータλ、μ、Δcrによって定まる楔型領域によって、安定性閾値が拡大される。
• 修正された臨界遅延はΔ = Δcr ± ε√(α²Δcr² / (Δcrλ + 4Δcrμ + 4))で与えられ、符号は式 (3.123)–(3.125) で定義されたλ、μ、Δcrに依存する。
• 数値シミュレーションにより、漸近的予測が、修正された閾値における安定収束から、周期的で非同期的挙動への遷移を正確に捉えていることが確認された。
• 到着レートの周波数が臨界遅延周波数の2倍でない場合、安定性ダイナミクスは非時間変動ケースとほぼ同一となる。
• 解析により、非線形ダイナミクス、パラメトリック励振、時間遅延、時間変動入力の間の新たな相互作用が明らかになった。