[論文レビュー] An Elementary GIT Construction of the Moduli Space of Stable Maps

Adam E. Parker|ArXiv.org|Apr 5, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ のモジュライ空間を、$\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$ による商として、$\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))$ の GIT 商の商として、初等的な幾何学的不変式論 (GIT) の構成を提示する。主な結果は、自然な同一視 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{ss}(\mathcal{L}')/G \cong \overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ であり、これにより、収縮写像が正則埋め込みに沿った重み付き blow-up の系列に因数分解可能であることが保証される。

ABSTRACT

This paper provides a GIT construction of the Moduli Space of Stable Maps as a GIT quotient of the Graph Space by SL(2,C). As a corollary, we get a birational map from the 0-pointed Moduli Space to a projective variety.

研究の動機と目的

• モジュライ空間 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ をスタック論的技法に依存せずに、初等的な GIT アプローチで構成すること。
• モジュライ空間 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$、$\overline{M}_{0,n}$、および Fulton-MacPherson 空間 $\mathbb{P}^1[n]$ の構成を、一つの枠組みで統一すること。
• $\overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$ から商空間への有理写像 $\bar{\phi}$ を提供し、それが中間のモジュライ空間を経由して因数分解されることを示すこと。
• 空間が代数的多様体として滑らかでないにもかかわらず、重み付き blow-up の系列を用いてチャウ環の計算を可能にすること。

提案手法

• $((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)$ の基点なし領域を用いて、モジュライ空間 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))$ を GIT 商として構成すること。
• $((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)$ 上に線形化されたラインバンドル $\mathcal{L}$ を定義し、その半安定領域が安定領域と一致することを保証すること。
• 十分に小さい $\epsilon > 0$ に対して、$\mathcal{L}' = \phi^*(\mathcal{L})(-\epsilon E)$ と摂動を導入し、$E$ は $-E$ が $\phi$-ample である有効除算であるものとする。
• $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{ss}(\mathcal{L}')$ が安定領域に一致し、かつ $\phi^{-1}((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)^{ss}(\mathcal{L})$ に等しいことを示すこと。
• この安定領域を $G = \mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$ で商取ることで、自然同型を介して $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ が得られることを証明すること。
• 収縮写像 $\phi$ を中間空間を経由して因数分解し、$\bar{\phi}$ が正則埋め込みに沿った重み付き blow-up の系列として実現されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ のモジュライ空間は、スタック論的技法に依存せずに、初等的な GIT 商として構成可能か？
• RQ2 $\overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$ から高次元のモジュライ空間の商への自然な有理写像が存在し、その写像が blow-up 因数分解を可能にするか？
• RQ3 Givental の収縮写像 $\phi: \overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1)) \to ((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)$ は、$\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$ で商を取った後、重み付き blow-up の系列に因数分解可能か？
• RQ4 この商構成はモジュライ空間の普遍的性質を保ち、安定写像のための粗いモジュライ空間を生成するか？
• RQ5 この構成を用いて、Keel の blow-up 定理に基づき、$\overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$ のチャウ環を計算可能か？

主な発見

• $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ は、$G = \mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$ として、自然同型 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{ss}(\mathcal{L}')/G$ として一意的に同一視可能である。
• 十分に小さい $\epsilon > 0$ に対して、ラインバンドル $\mathcal{L}' = \phi^*(\mathcal{L})(-\epsilon E)$ は非常に正であり、$\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{ss}(\mathcal{L}') = \overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{s}(\mathcal{L}')$ が成り立つ。
• $(\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r$ 内の安定領域は、Givental の収縮写像 $\phi$ を介して、$\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))$ 内の安定領域へ引き戻される。
• 誘導写像 $\bar{\phi}: \overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d) \to ((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)^{ss}(\mathcal{L})/G$ は有理的な同型写像である。
• [M] における $\phi$ の因数分解は商空間へと持ち上がるので、$\bar{\phi}$ は正則埋め込みに沿った重み付き blow-up の系列として因数分解可能である。
• $(d,k)^*$-許容的写像のための粗いモジュライ空間 $\overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d,k)$ が存在し、${\mathbb{P}}_d^r(k)^{s}/\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$ として構成可能である。