[論文レビュー] An Embedding theorem for abelian monoidal categories

Phùng Hô Hái|ArXiv.org|Apr 25, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、小規模なアーベル的剛性モノイダル圏を環上のbimodule圏に埋め込む埋め込み定理を確立する。構成法は、圏をグロテンディークモノイダル圏に拡張し、その後モジュール圏に埋め込んでからbimodule構造を実現する。主な結果は、このような圏がR-Mod-Rに正確なモノイダル埋め込みを許容することであり、半単純な対称的圏に対しては、底辺体の特性が0のときTannakianであることが示される。

ABSTRACT

We show that, with some technical conditions, an abelian category can be embedded into the category of bimodules over a ring. The case of semisimple rigid monoidal categories is studied in more detail.

研究の動機と目的

• アーベル的モノイダル圏の文脈において、Freyd-Mitchell埋め込み定理を一般化すること。
• braidedまたは非対称な場合におけるモノイダル埋め込みの自然なターゲット圏の欠如に対処すること。
• 小規模なアーベル的剛性モノイダル圏を環上のbimodule圏にモノイダル埋め込みすること。
• 半単純な対称的モノイダル圏が単位が単純であるとき、特性0の下でTannakianであることを示すこと。
• 無限大行列を用いた有限ランクbimoduleの表現を通じて、埋め込みの明示的実現を提供すること。

提案手法

• 小規模なアーベル的モノイダル圏を、単射余生成子を備えたcocompleteグロテンディークモノイダル圏に拡張する。
• その圏がR-bimodule圏に完全かつ忠実に埋め込まれるような環Rを構成する。
• テンソル積構造を用いて、モジュール圏からbimodule圏へのモノイダル関手を定義する。
• 対象を、各行・各列に有限個の非ゼロ成分しか持たない無限大行列として表現し、テンソル積を行列積に対応させる。
• 剛性を活用して、像が有限生成射影的bimoduleであることを保証し、有限次元の推定が可能になる。
• 整合性定理と随伴函手基準を適用して、余極限および閉構造との適合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小規模なアーベル的剛性モノイダル圏は、環上のbimodule圏にモノイダル埋め込み可能か？
• RQ2 このような埋め込みが正確かつ忠実であるための条件は何か？
• RQ3 半単純な剛性モノイダル圏の構造は、この埋め込み下でどのように振る舞うか？
• RQ4 この埋め込みを用いて、対称的場合のTannakian双対性を証明できるか？
• RQ5 bimodule表現が、自己準同型空間の成長にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 任意の小規模なアーベル的剛性モノイダル圏は、環上のbimodule圏への正確なモノイダル埋め込みを許容する。
• 埋め込み下での各対象の像は、各行・各列に有限個の非ゼロ成分しか持たない無限大行列に対応する。
• 対象のテンソル積は、bimodule表現における行列積に対応する。
• 単位が単純な半単純な剛性モノイダル圏の任意の対象Xに対して、自己準同型環K上でのEnd(X^n)の次元は、あるd（圏に依存）に対してd^nで有界である。
• 圏が対称的であり、char(K) = 0であれば、任意の対象Xのn次の反対称冪が消えるようなnが存在し、これにより圏がTannakianであることが示される。
• 任意の対象のカテゴリカル次元は、修正された対称性の下で整数になるため、DeligneのTannakian理論の適用が可能になる。