[論文レビュー] Operads in iterated monoidal categories

Stefan Forcey, Jacob Siehler+1 more|ArXiv.org|Feb 28, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、$k$-fold monoidal圏における$n$-fold operadの定義フレームワークを確立し、$n$-fold operadの圏が$(k-n)$-fold monoidal構造を引き継ぐことを示している。これは、braidedやsymmetric monoidal圏を超えた古典的operad理論の一般化であり、$n$-fold operadが自動的に$(n-1)$-fold operadであることを証明し、Young図や自然数といった幾何的例を通じてその振る舞いを示している。

ABSTRACT

The structure of a $k$-fold monoidal category as introduced by Balteanu, Fiedorowicz, Schwänzl and Vogt can be seen as a weaker structure than a symmetric or even braided monoidal category. In this paper we show that it is still sufficient to permit a good definition of ($n$-fold) operads in a $k$-fold monoidal category which generalizes the definition of operads in a braided category. Furthermore, the inheritance of structure by the category of operads is actually an inheritance of iterated monoidal structure, decremented by at least two iterations. We prove that the category of $n$-fold operads in a $k$-fold monoidal category is itself a $(k-n)$-fold monoidal, strict 2-category, and show that $n$-fold operads are automatically $(n-1)$-fold operads. We also introduce a family of simple examples of $k$-fold monoidal categories and classify operads in the example categories.

研究の動機と目的

• braidedやsymmetric monoidal圏を超えたoperad理論を一般化するため、$k$-fold monoidal圏における$n$-fold operadを定義すること。
• $k$-fold monoidal圏における$n$-fold operadの圏が$(k-n)$-fold monoidal構造を引き継ぐことを示すこと。
• $n$-fold operadが自動的に$(n-1)$-fold operadであることを示し、operad構造の階層的継承を明らかにすること。
• 全順序モノイドとYoung図を用いて、$k$-fold monoidal圏の具体例を構築し、分類すること。
• これらの圏におけるoperadの組合せ論的および幾何的成長パターンを探索し、ネットワーク理論やallometricスケーリングへの応用を示唆すること。

提案手法

• $k$-fold monoidal圏は交換同型を弱める点でbraided monoidal圏を一般化するため、operadの定義をそれに適応する。
• $1 \leq p < q \leq n$に対して、積の階層$\otimes_p$を導入し、$n$-fold operadにおける複数の段階の合成を可能にする。
• $k$-fold monoidal圏におけるlax交換法則を用いて、完全な対称性やbraidingを必要としないoperad作用を定義する。
• 全順序、max、加法、および列における辞書式順序を用いて、$k$-fold monoidal圏の具体例を構成する。
• 組合せ論的圏、たとえば$\mathbb{N}$およびYoung図の圏を用いて、operadの成長パターンを分析する。
• $n$-fold operad $\mathcal{C}$に対する$\mathcal{C}$-代数を、結合則および単位則を満たす構造写像$\theta^{pq}$により定義し、代数のテンソル積の明示的公式を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 braidedやsymmetric monoidal圏より弱い$k$-fold monoidal圏において、operadを意味的に定義できるか？
• RQ2 $k$-fold monoidal圏における$n$-fold operadの圏は、反復monoidal構造を引き継ぐのか？ もしそうなら、その次数は何か？
• RQ3 $n$-fold operadと$(n-1)$-fold operadの関係は何か？ これにより、operad構造の階層的継承に何が示唆されるか？
• RQ4 組合せ論的$k$-fold monoidal圏、たとえば$\mathbb{N}$やYoung図の圏におけるoperadの成長パターンは何か？
• RQ5 $\mathcal{C}$-代数のテンソル積は自然に定義可能か？ また、$n$-fold operad代数構造を保存するか？

主な発見

• $k$-fold monoidal圏における$n$-fold operadの圏は、自身が$(k-n)$-fold monoidalで、strict $2$-圏である。
• すべての$n$-fold operadは自動的に$(n-1)$-fold operadであるため、operad構造のネストされた階層が存在する。
• $\mathbb{N}$において通常の加法を用いた例では、$2$-fold operadは完全に分類されており、operad項に線形的および対数的成長パターンが現れる。
• Young図の圏におけるoperadは、異なる次元で線形的および対数的成長を示し、operad的成長の理論を示唆する。
• $n$-fold operad $\mathcal{C}$および$\mathcal{D}$の$\mathcal{C}$-代数と$\mathcal{D}$-代数のテンソル積は、自然にテンソル積operad $\mathcal{C} \otimes' \mathcal{D}$の代数となり、構造写像の明示的公式が得られる。
• 導入された圏における組合せ論的operadを用いた反例と鋭い定理により、分類結果の正確性が示されている。