[論文レビュー] An energy-stable parametric finite element method for simulating solid-state dewetting

Quan Zhao, Wei Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Fluid Dynamics and Thin Films参考文献 44被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、表面拡散および接触線移動を伴う2次元固体状態のデュエッティングをシミュレートするためのエネルギー安定なパラメトリック有限要素法（ES-PFEM）を提案する。緩和された接触角をロビン型境界条件として再定式化し、一次元線形有限要素法と後退オイラー時間離散化を用いることで、多様体距離における2次空間精度、無条件エネルギー安定性、および長時間にわたる均等なメッシュ分布を達成した。数値的検証により、2次収束と1次接触角精度が確認された。

ABSTRACT

We propose an energy-stable parametric finite element method (ES-PFEM) for simulating solid-state dewetting of thin films in two dimensions via a sharp-interface model, which is governed by surface diffusion and contact line (point) migration together with proper boundary conditions. By reformulating the relaxed contact angle condition into a Robin-type boundary condition and then treating it as a natural boundary condition, we obtain a new variational formulation for the problem, in which the interface curve and its contact points are evolved simultaneously. Then, the variational problem is discretized in space by using piecewise linear elements. A full discretization is presented by adopting the backward Euler method in time, and the well-posedness and energy dissipation of the full discretization are established. The numerical method is semi-implicit (i.e., a linear system to be solved at each time step and thus efficient), unconditionally energy-stable with respect to the time step, and second-order in space measured by a manifold distance between two curves. In addition, it demonstrates equal mesh distribution when the solution reaches its equilibrium, i.e., long-time dynamics. Numerical results are reported to show accuracy and efficiency as well as some good properties of the proposed numerical method.

研究の動機と目的

• 移動する接触線を伴う2次元固体状態のデュエッティングをシミュレートするための、強固でエネルギー安定な数値法の開発。
• 開いた曲線の進化における安定的かつ高精度な進化を可能にする変分定式化に、緩和された接触角条件を組み込む課題への対処。
• 数値的および正確な平衡形状のための、多様体距離における2次空間収束と、接触角誤差における1次収束の達成。
• 長時間シミュレーションにおいて質量とエネルギー安定性を維持し、平衡状態で均等なメッシュ分布を示すこと。
• 各時間ステップで線形方程式系を1回だけ解く、半陽的で効率的なスキームの提供。

提案手法

• 緩和された接触角条件をロビン型境界条件として再定式化し、変分定式化への自然な組み込みを可能にする。
• 界面曲線とその接触点が、表面拡散および接触線移動の下で同時に進化する新しい変分定式化を導出する。
• パラメトリックメッシュ上での一次元線形有限要素法を用いて、空間的離散化を行う。
• 後退オイラー法を時間方向に適用し、無条件エネルギー安定性と完全離散化の適切な定式化を達成する。
• 構成上エネルギー散逸を保証し、各時間ステップで離散エネルギーが単調に減少するようにする。
• 各ステップで線形方程式系を1回だけ解く半陽的スキームを実装し、計算効率を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移動する接触線を伴う固体状態のデュエッティングにおける開いた曲線の進化に対して、エネルギー安定性を維持するパラメトリック有限要素法を構築可能か？
• RQ2 緩和された接触角条件を、安定性と精度を保証する変分フレームワーク内で自然に強制する方法は何か？
• RQ3 数値的および正確な平衡形状間の多様体距離誤差において、この手法の収束率は何か？
• RQ4 長時間平衡状態において、質量を保存し、均等なメッシュ分布を示すか？
• RQ5 このクラスの開いた曲線進化問題に対して、この手法が2次空間精度を達成できるか？

主な発見

• 提案されたES-PFEMは、数値的および正確な平衡形状間の多様体距離誤差において2次収束を達成し、高い空間的精度を確認した。
• 平衡状態における接触角誤差は、メッシュサイズに対して1次収束を示し、|θₑ − θᵢ| = O(h) となる。これは、熱力学的平衡を正確に捉える手法の有効性を検証した。
• 本手法は無条件エネルギー安定であり、離散エネルギーが時間とともに単調に減少するため、ロバストな長時間シミュレーションが可能である。
• 平衡状態において、数値解は均等なメッシュ分布を示しており、正しい長時間ダイナミクスを捉えていることを示している。
• 数値的シミュレーションにより、初期島形状がいかなる初期幾何形状であっても、すべてがヤングの角度θᵢで基板と交差する円弧に進化することが確認された。
• 本手法は質量を保存し、半陽的かつ線形方程式系に基づく時間ステッピングのおかげで優れた計算効率を示した。