[論文レビュー] An equivalence theorem for reduced Fell bundle C*-algebras

Aidan Sims, Dana P. Williams|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、群準群の上に定義された等価なフェルバンドルの、完全なC*-代数のモラータ同値が、還元されたレベルにまで降下することを示す。そのために、フェルバンドルのモラータ同値を符号化するリンクングロイド上にリンクバンドルを構成し、その還元的断面代数が元のバンドルの還元的代数を補完的全コーナーとして含むことを示す。主要な結果は、クイッグとスプリンタープの還元的作用積に関する結果をフェルバンドル設定に一般化している。

ABSTRACT

We show that if E is an equivalence of upper semicontinuous Fell bundles B and C over groupoids, then there is a linking bundle L(E) over the linking groupoid L such that the full cross-sectional algebra of L(E) contains those of B and C as complementary full corners, and likewise for reduced cross-sectional algebras. We show how our results generalise to groupoid crossed-products the fact, proved by Quigg and Spielberg, that Raeburn's symmetric imprimitivity theorem passes through the quotient map to reduced crossed products.

研究の動機と目的

• クイッグとスプリンタープの還元的作用積に関する結果を、群準群上のフェルバンドルの設定に一般化すること。
• ミューリーとウィリアムズが構成した完全なフェルバンドルC*-代数のモラータ同値が、還元的レベルにまで降下することを確立すること。
• リンク群準群上に構成されたリンクバンドルの還元的断面代数が、元のバンドルの還元的代数を補完的全コーナーとして実現すること。
• 還元的同値を実装するプリミティブ双モジュールが、完全代数のミューリー＝ウィリアムズ双モジュールの商として得られることを示すこと。

提案手法

• 群準群 $ \mathcal{L} $ 上に、フェルバンドル $ \mathscr{B} $ と $ \mathscr{C} $ 間の同値を表すバンドル $ \mathscr{E} $ を用いて、リンクバンドル $ L(\mathscr{E}) = \mathscr{B} \sqcup \mathscr{E} \sqcup \mathscr{E}^{\mathrm{op}} \sqcup \mathscr{C} $ を構成する。
• バンドル構造と整合するファイブレ乗法 $ \mathscr{B} * \mathscr{E} \to \mathscr{E} $ および $ \mathscr{E} * \mathscr{C} \to \mathscr{E} $ を定義し、ファイバーの同型をプリミティブ双モジュールとして実装する。
• コンパクト台付き切断の空間 $ \Gamma_c(L; L(\mathscr{E})) $ に、$ 2 \times 2 $ ブロック代数に類似した行列分解を導入し、リンク構造を反映させる。
• 還元的ノルムが、$ \mathscr{B} $ および $ \mathscr{C} $ に対応する部分代数に制限され、それらの還元的ノルムと一致することを証明する。
• リンク群準群上のリンクバンドルの還元的断面代数が、リンク群準群の単位に対応する射影を介して $ C^*_r(\mathscr{B}) $ および $ C^*_r(\mathscr{C}) $ を補完的全コーナーとして含むことを示す。
• 還元的代数のモラータ同値双モジュールが、完全代数のミューリー＝ウィリアムズ双モジュールの商と同型であり、$ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}) $ 上の恒等写像がノルムを保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミューリーとウィリアムズが確立した完全なフェルバンドルC*-代数のモラータ同値は、還元的C*-代数へと拡張可能か？
• RQ2 リンク群準群上に構成されたリンクバンドルは、同値なフェルバンドルの還元的断面代数を補完的全コーナーとして実現可能か？
• RQ3 還元的同値を実装するプリミティブ双モジュールは、完全双モジュールの商と同型か？
• RQ4 リンク代数上の還元的ノルムは、元のバンドルの還元的ノルムとどのように関係するか？
• RQ5 還元的作用積に関する対称的プリミティブ性定理は、フェルバンドル系へとどの程度一般化可能か？

主な発見

• リンク群準群 $ \mathcal{L} $ 上のリンクバンドル $ L(\mathscr{E}) $ の断面代数は、$ \Gamma_c(G; \mathscr{B}) $、$ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}) $、$ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}^{\mathrm{op}}) $、および $ \Gamma_c(H; \mathscr{C}) $ を成分とする $ 2 \times 2 $ 行列代数に分解される。
• リンクバンドル $ L(\mathscr{E}) $ の還元的断面代数は、射影 $ \mathfrak{p}_G $ および $ \mathfrak{p}_H $ を介して $ C^*_r(\mathscr{B}) $ および $ C^*_r(\mathscr{C}) $ を補完的全コーナーとして含む。
• 還元的代数のモラータ同値双モジュールは、$ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}) $ の還元的ノルムにおける完備化として実現され、これは完全代数のミューリー＝ウィリアムズ双モジュールの商と同型である。
• 還元的同値双モジュール上のノルムは、リンク代数における畳み込み公式から誘導されるノルムと一致し、$ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}) $ 上の恒等写像を介して示される。
• 本結果は、クイッグとスプリンタープの還元的作用積に関する定理をフェルバンドル設定に一般化し、対称的プリミティブ性定理が還元的レベルにまで降下することを示している。
• 本構成により、古典的群準群同値の図式、リンク群準群、および還元的C*-代数的構造がすべて整合する統一的枠組みが提供される。