[論文レビュー] An equivariant Iwasawa main conjecture for local fields

Andreas Nickel|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体の非分岐$\mathbb{Z}_p$-拡張上での$\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$のエタールコホロロジーから得られる算術的不変量と、有限ガロア拡張の等変局所エプシロン定数を関連付ける、局所体における等変Iwasawa主予想を定式化する。本稿は、その予想を単純分岐拡張の場合に証明し、$p$-進$L$-関数と$K$-理論を通じてIwasawa理論的類似を確立し、グローバルな等変エプシロン定数予想に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

Let $L/K$ be a finite Galois extension of $p$-adic fields and let $L_{\infty}$ be the unramified $\mathbb Z_p$-extension of $L$. Then $L_{\infty}/K$ is a one-dimensional $p$-adic Lie extension. In the spirit of the main conjectures of equivariant Iwasawa theory, we formulate a conjecture which relates the equivariant local epsilon constants attached to the finite Galois intermediate extensions $M/K$ of $L_{\infty}/K$ to a natural arithmetic invariant arising from the étale cohomology of the constant sheaf $\mathbb Q_p/\mathbb Z_p$ on the spectrum of $L_{\infty}$. We give strong evidence of the conjecture including a full proof in the case that $L/K$ is at most tamely ramified.

研究の動機と目的

• $p$-進体の有限ガロア拡張に対して、非分岐$\mathbb{Z}_p$-拡張を通じて等変Iwasawa主予想を定式化すること。
• 中間拡張の等変局所エプシロン定数を、$\mathrm{Spec}(L_\infty)$上での$\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$のエタールコホロロジーから得られる算術的不変量に関連付けること。
• Iwasawa理論的類似を確立することで、Breuningの局所等変エプシロン定数予想に対する強い証拠を提供すること。
• グローバルな等変エプシロン定数予想の枠組みを、Iwasawa理論を用いて局所$p$-進設定に拡張すること。

提案手法

• Iwasawa代数$\Lambda(\mathcal{G})$における$p$-進$L$-関数とガロアのガウス和の組み合わせに等しい、精製されたオイラー特性不変量$C_{L_\infty/K}$を等式とする予想を定式化する。
• 複体$K_L^\bullet = R\Gamma(L,\mathbb{Z}_p(1))[1] \oplus H_L[-1]$を用いて、自明化$\phi_L$を介してコホロロジー項$C_{L/K}$を定義する。
• ブローバーの埋め込みとガロア降下を適用し、予想をアーベル拡張およびタイプ$S$と$W$の特徴に還元し、ガロア作用の下での不変性を活用する。
• Iwasawa代数$\Lambda(\mathcal{G})$とその$(p)$における局域化を用いて、コホロロジー群を分析し、$\Lambda_{(p)}(\mathcal{G})$-加群の自由性を保証する。
• $\mathrm{Det}: K_1(\mathcal{Q}^c(\mathcal{G})) \to \mathrm{Hom}^*(R_p(\mathcal{G}), \Lambda^c(\Gamma_K)^\times)$の行列式写像を用いて、$p$-進$L$-関数と予想される等式を関連付ける。
• $\Lambda(\Gamma_K)$-加群における$\mu$-不変量の理論を適用し、単純分岐部分拡張への還元により$\mu$-不変量の消滅を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルな等変エプシロン定数予想を、$p$-進Iwasawa理論の文脈で局所化し、再定式化する方法は何か？
• RQ2 等変局所エプシロン定数と、$L_\infty$上での$\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$のエタールコホロロジーから生じる算術的不変量との正確な関係は何か？
• RQ3 Iwasawa理論的手法、特に単純分岐の場合に、局所等変エプシロン定数予想を証明できるか？
• RQ4 局所体におけるIwasawa主予想が、Breuningの局所等変エプシロン定数予想をどれほど回復または含意するか？
• RQ5 ガロア降下および誘導に関して、$p$-進$L$-関数の$\mu$-不変量はどのように振る舞い、算術的不変量の消滅にどのような含意をもたらすか？

主な発見

• 拡張$L/K$が単純分岐である場合に、予想は完全に証明され、$K_0(\mathbb{Z}_p[G], \mathbb{Q}_p^c)$における不変量$R_{L/K}$の消滅が示された。
• すべてのタイプ$S$の既約特徴$\chi$に対して、$p$-進$L$-関数$f(\chi)$の$\mu$-不変量は消えることが、$p$と互いに素な位数の巡回部分群への還元により示された。
• $\Lambda_{(p)}(\mathcal{G}) \otimes_{\Lambda(\mathcal{G})}^\mathbb{L} K_{L_\infty}^\bullet$のコホロロジー群$H^i$は、次数$0$および$1$でランク$[K:\mathbb{Q}_p]$の自由$\Lambda_{(p)}(\mathcal{G})$-加群であり、それ以外の次数では消える。
• 予想は、条件$\mathrm{Det}(x_{L_\infty/K})^{-1} \cdot \tau^{(j)}_{L_\infty/K} \in \mathrm{Det}(K_1(\Lambda_{(p)}(\mathcal{G})))$に同値であり、$K$-理論と$p$-進$L$-関数を結びつける。
• $L/K$が単純分岐であるという仮定の下で、Breuning予想のIwasawa理論的類似が成り立つ。$\mu$-不変量の消滅は、分岐部分群の構造とガロア降下により生じる。
• この結果は、グローバルな等変エプシロン定数予想に対する強い証拠を提供する。グローバル予想の$p$-部は、$E_w/F_v$の局所予想によって含意される。