[論文レビュー] Heegner Point Kolyvagin System and Iwasawa Main Conjecture

Xin Wan|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、グローバルなルート数が $-1$ の場合に、ヘーゲナー点に対するアティコサイクロトミック・イwasawa主予想を、ヘーゲナー点のコリヴァギン系と最近得られたランクン・セールバ― $p$-進 $L$-関数に関する可除性結果を用いて証明する。主な貢献は、特定の局所的条件の下で双対セレール群の特性イデアルと $p$-進 $L$-関数の等式を確立し、グロス＝ツァイアー＝コリヴァギン定理の逆定理を、より弱い仮定で改善することにある。

ABSTRACT

In this paper we prove an anticyclotomic Iwasawa main conjecture proposed by Perrin-Riou for Heegner points when the global sign is -1, using a recent work of the author on one divisibility of Iwasawa-Greenberg main conjecture for Rankin-Selberg p-adic L-functions. As a byproduct we also prove the equality for the above mentioned main conjecture under some local conditions.

研究の動機と目的

• グローバルなルート数が $-1$ の場合に、$p$-進 $L$-関数に関する以前の研究を拡張して、ヘーゲナー点に対するアティコサイクロトミック・イwasawa主予想を証明すること。
• 楕円曲線および虚二次体に関する特定の局所的条件の下で、双対セレール群の特性イデアルと $p$-進 $L$-関数の等式を確立すること。
• C. スキナーのグロス＝ツァイアー＝コリヴァギン定理の逆定理の仮定を、ガロア表現およびルート数に関する条件を弱める形で改善すること。

提案手法

• $\Lambda$-adic ガロア表現 $\mathbf{T} = T \otimes_\mathbb{Z}_p \Lambda(\Psi)$ において、ヘーゲナー点のコリヴァギン系を構成する。ここで $\Lambda$ はアティコサイクロトミック・イwasawa代数である。
• 最近得られた、ランクン・セールバ― $p$-進 $L$-関数に関するイwasawa＝グリーンバーグ主予想における1つの可除性結果を応用し、セレール群を制御する。
• $\Lambda$-adic $L$-関数 $\mathcal{L}_{f,\mathcal{K}}^{BDP}$ 及び $\gamma^+ = 1$ におけるその特殊化を用いて、セレール群の特性イデアルと $p$-進 $L$-関数を関連付ける。
• ヘイダ族 $L$-関数との比較により、$p$-進 $L$-関数 $\mathcal{L}_{f,\mathcal{K}}$ の分母を分析し、$p$ のべきを除き単数であることを示し、したがって $\widetilde{\mathcal{L}}_{f,\mathcal{K}} = \mathcal{L}_{f,\mathcal{K}}$ が単数を除いて成り立つことを示す。
• グリーンバーグの方法を用いて、$\mathcal{K}_\infty^-$ 上のセレール群の特殊化を、$\mathcal{K}$ 上の古典的セレール群に関連付け、ヘーゲナー点の非ねじれ性を証明する。
• 写像 $\iota: \Lambda \to \Lambda$ で $1+W$ を $(1+W)^{-1}$ に送るような対合を用いて、セレール群の $\Lambda$-加群構造と $p$-進 $L$-関数を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルなルート数が $-1$ の場合に、ヘーゲナー点に対するアティコサイクロトミック・イwasawa主予想は成り立つか？
• RQ2 楕円曲線および虚二次体に関する局所的条件の下で、双対セレール群の特性イデアルと $p$-進 $L$-関数の等式は確立可能か？
• RQ3 C. スキナーのグロス＝ツァイアー＝コリヴァギン定理の逆定理における仮定を、どの程度弱めることができ、ヘーゲナー点の非ねじれ性を保てるか？

主な発見

• グローバルなルート数が $-1$ の場合に、ヘーゲナー点に対するアティコサイクロトミック・イwasawa主予想が証明され、$\mathrm{char}_\Lambda(X_{f,\mathcal{K}}) = (\mathcal{L}_{f,\mathcal{K}}^{BDP})$ が $\Lambda$ 内のイデアルとして成り立つ。
• $\mathrm{ord}_p(\widetilde{\mathcal{L}}_{f,\mathcal{K}}) = 0$ の仮定の下で、等式 $\mathrm{char}_{\Lambda_{\mathcal{K}}}(X_{f,\mathcal{K}}) = (\widetilde{\mathcal{L}}_{f,\mathcal{K}})$ が成り立ち、この場合に予想が正当化される。
• $p$-進 $L$-関数 $\mathcal{L}_{f,\mathcal{K}}$ は $p$ のべきを除き、分母を持たないため、$\widetilde{\mathcal{L}}_{f,\mathcal{K}} = \mathcal{L}_{f,\mathcal{K}}$ が $\Lambda$ 内の単数を除いて成り立ち、$p$-進 $L$-関数が整数的であることを示唆する。
• ヘーゲナー点 $\kappa_1$ は $H^1_{\mathcal{F}}(\mathcal{K}, T \otimes \mathbb{Q}_p)$ 内でねじれではない。これは $L$-関数 $L_{\mathcal{K}}(f,1)$ がちょうど1次の零点を持つことを意味する。
• この手法により、$\frac{H^1_{\mathcal{F}}(\mathcal{K}, \mathbf{T})}{I H^1_{\mathcal{F}}(\mathcal{K}, \mathbf{T}) + \Lambda \kappa_1^{Hg}}$ がねじれであることが示され、コリヴァギン系の像の非消滅性が確認される。
• C. スキナーの逆定理を強化し、セレール群 $H^1_{\mathcal{F}}(\mathcal{K}, E[p^\infty])$ の階数が1であるという仮定の下で、ヘーゲナー点 $\kappa_1$ がねじれでないことが示された。グローバルなルート数が $-1$ であるという仮定は不要となった。