[論文レビュー] An Equivariant Main Conjecture in Iwasawa Theory and Applications

Cornélius Greither, Cristian D. Popescu|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、数体のCM型$Γ$-拡大に対するIwasawa理論における等変主予想を確立し、DeligneのPicard 1-モチーフの$p$-進実現として構成された新しいクラスの$p$-進Iwasawaモジュール—その第一フィッティングイデアルが等変$p$-進$L$-関数によって生成されることを証明する。古典的Iwasawaの$\mu$-不変量が消えるという仮定の下で、Wilesの古典的主予想の精密化された整数版を示し、Brumer-Stark予想およびCoates-Sinnott予想の2-主成分を除く新しい結果を導出する。

ABSTRACT

We construct a new class of Iwasawa modules, which are the number field analogues of the p-adic realizations of the Picard 1-motives constructed by Deligne in the 1970s and studied extensively from a Galois module structure point of view in our recent work. We prove that the new Iwasawa modules are of projective dimension 1 over the appropriate profinite group rings. In the abelian case, we prove an Equivariant Main Conjecture, identifying the first Fitting ideal of the Iwasawa module in question over the appropriate profinite group ring with the principal ideal generated by a certain equivariant p-adic L-function. This is an integral, equivariant refinement of the classical Main Conjecture over totally real number fields proved by Wiles in 1990. Finally, we use these results and Iwasawa co-descent to prove refinements of the (imprimitive) Brumer-Stark Conjecture and the Coates-Sinnott Conjecture, away from their 2-primary components, in the most general number field setting. All of the above is achieved under the assumption that the relevant prime p is odd and that the appropriate classical Iwasawa mu-invariants vanish (as conjectured by Iwasawa.)

研究の動機と目的

• CM型$\mathbb{Z}_p$-拡大$\mathcal{K}/k$に付随するPicard 1-モチーフの$p$-進実現として、新しいクラスのIwasawaモジュールを構成し、Deligneの構成を数体へ一般化すること。
• CMおよびガロア不変性の仮定の下で、このモジュールが完備群環$\mathbb{Z}_p[[\mathcal{G}]]$上において射影次元$1$をもつことの証明。
• モジュールの第一フィッティングイデアルが等変$p$-進$L$-関数によって生成されるという等変主予想を確立すること。
• この予想を用いて、2-主成分を除く状況でのBrumer-Stark予想およびCoates-Sinnott予想を精錬すること。
• 全実基底体の設定および$\mu=0$予想の下で、Wilesの古典的主予想の整数的・等変的精錬版を提供すること。

提案手法

• CM型$\mathbb{Z}_p$-拡大$\mathcal{K}/k$（$\mathcal{G} = \mathrm{Gal}(\mathcal{K}/k)$）に付随するPicard 1-モチーフに関連する$p$-進実現$T_p(\mathcal{M}^{\mathcal{K}}_{\mathcal{S},\mathcal{T}})^{-}$を構成する。
• $\mathcal{G}$がアーベル的であり、$\mu_{K,p} = 0$であるとき、モジュール$T_p(\mathcal{M}^{\mathcal{K}}_{\mathcal{S},\mathcal{T}})^{-}$が$\mathbb{Z}_p[[\mathcal{G}]]^{-}$上射影次元$1$をもつことを証明する。
• $S$-非整型$p$-進$L$-関数を用いて、等変$p$-進$L$-関数$\Theta_{S,T}^{(\infty)} \in \mathbb{Z}_p[[\mathcal{G}]]^{-}$を定義する。
• 等変Weierstrassの準備定理と$\mu$-不変量の制御を用いて、すべての奇文字$\chi$に対して$\chi(F) \sim \chi(\Theta)$が成り立つならば、$F \sim \Theta$が$\mathbb{Z}_p[[\mathcal{G}]]^{-}[[t]]$において成り立つことを証明する。
• 鍵となる等式$\mathrm{Fit}_{\mathbb{Z}_p[[\mathcal{G}]]^{-}}(T_p(\mathcal{M}^{\mathcal{K}}_{\mathcal{S},\mathcal{T}})^{-}) = \Theta_{S,T}^{(\infty)} \cdot \mathbb{Z}_p[[\mathcal{G}]]^{-}$を確立し、等変主予想を証明する。
• Iwasawa共降下と主予想を用いて、Brumer-Stark予想およびCoates-Sinnott予想の精錬版が2-主成分を除く範囲で得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Picard 1-モチーフから生じるIwasawaモジュールに対して、CM拡大において等変主予想を定式化し、証明することは可能か？
• RQ2 モジュール$T_p(\mathcal{M}^{\mathcal{K}}_{\mathcal{S},\mathcal{T}})^{-}$の第一フィッティングイデアルが等変$p$-進$L$-関数によって生成されるか？
• RQ3 全実基底体の設定および$\mu=0$の下で、Wilesの古典的主予想を整数的かつ等変的にどのように精錬できるか？
• RQ4 新しい主予想を用いて、Brumer-Stark予想およびCoates-Sinnott予想は2-主成分を除く範囲でどの程度強化可能か？
• RQ5 $\mu$-不変量の消える条件が、これらのモジュールの射影次元およびイデアル論的制御を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• $\mathcal{G}$がアーベル的であり、$\mu_{K,p} = 0$である限り、Iwasawaモジュール$T_p(\mathcal{M}^{\mathcal{K}}_{\mathcal{S},\mathcal{T}})^{-}$は$\mathbb{Z}_p[[\mathcal{G}]]^{-}$上射影次元$1$をもつ。
• $T_p(\mathcal{M}^{\mathcal{K}}_{\mathcal{S},\mathcal{T}})^{-}$の$\mathbb{Z}_p[[\mathcal{G}]]^{-}$上での第一フィッティングイデアルは、等変$p$-進$L$-関数$\Theta_{S,T}^{(\infty)}$によって生成される主イデアルに等しく、等変主予想が確立される。
• この結果により、$\mathbb{Q}_p$における局所化を回避する整数的・等変的精錬版が得られ、Wilesの古典的主予想が精錬される。
• 著者らは、$p$-進$L$-関数$\Theta_{S,T}^{(\infty)}$の$\mu$-不変量が$0$であることを証明し、Weierstrassの準備定理との整合性を保証する。
• Iwasawa共降下を用いることで、2-主成分を除く範囲でBrumer-Stark予想およびCoates-Sinnott予想が精錬された形で成り立つことが導かれる。
• 証明は、すべての奇文字$\chi$に対して$\chi(F) \sim \chi(\Theta)$が$\mathcal{O}[[t]]$で成り立つならば、$F \sim \Theta$が$\mathbb{Z}_p[[\mathcal{G}]]^{-}[[t]]$で成り立つという鍵となる補題に依存しており、これにより局所データから大域的制御が可能になる。