[論文レビュー] Integral Iwasawa theory of Galois representations for non-ordinary primes

Kâzım Büyükboduk, Antonio Lei|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非通常素数におけるガロア表現のための統合的 Iwasawa 理論を展開し、局所 Iwasawa コホロロジーに符号付き Coleman 写像を構成することで、整数係数 p-進 L 関数および余ねじれ Selmer 群を定義する。明示的相互法則予想の下で、符号付きメイン予想の一方の包含関係を証明し、Kobayashi の ±-理論を CM 域または完全実体上のホッジ＝テイト重量 0 または 1 を持つモチーフへ一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we study the Iwasawa theory of a motive whose Hodge-Tate weights are $0$ or $1$ (thence in practice, of a motive associated to an abelian variety) at a non-ordinary prime, over the cyclotomic tower of a number field that is either totally real or CM. In particular, under certain technical assumptions, we construct Sprung-type Coleman maps on the local Iwasawa cohomology groups and use them to define integral $p$-adic $L$-functions and (one unconditionally and other conjecturally) cotorsion Selmer groups. This allows us to reformulate Perrin-Riou's main conjecture in terms of these objects, in the same fashion as Kobayashi's $\pm$-Iwasawa theory for supersingular elliptic curves. By the aid of our theory of Coleman-adapted Kolyvagin systems that we develop here, we deduce parts of Perrin-Riou's main conjecture from an explicit reciprocity conjecture.

研究の動機と目的

• ホッジ＝テイト重量 0 または 1 を持つモチーフにおける非通常のガロア表現に、Kobayashi の ±-Iwasawa 理論を拡張すること。
• Sprung 型 Coleman 写像を用いて、非通常設定における整数係数 p-進 L 関数および余ねじれ Selmer 群を定義すること。
• Perrin-Riou のメイン予想を、これらの新しい整数係数対象を用いて再定式化すること。
• Coleman に適応させた Kolyvagin 系を通じて、メイン予想と明示的相互法則予想との間の関係を確立すること。
• 楕円曲線から高次元のアーベル多様体およびモチーフへ、Pollack の ±-理論を一般化すること。

提案手法

• Dieudonné モジュールの基底と対数行列を用いて、局所 Iwasawa コホロロジー群に符号付き Coleman 写像を構成する。
• これらの Coleman 写像の下で Beilinson-Kato 要素の像として整数係数 p-進 L 関数を定義する。
• Coleman 写像の核の直交補空間として定義される局所条件を用いて、新しい Selmer コホロロジー複体を導入する。
• Coleman に適応させた Kolyvagin 系の理論を適用し、p-進 L 関数とメイン予想との関係を確立する。
• 明示的相互法則予想を用いて、符号付きメイン予想における一方の包含関係を導出する。
• 古典的ケースとの整合性を示すために、符号の違いを除き、Pollack の ±-p-進 L 関数と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッジ＝テイト重量 0 または 1 を持つモチーフの文脈において、非通常のガロア表現に対して符号付き Coleman 写像を構成できるか？
• RQ2 このような Coleman 写像を用いて、非通常設定における整数係数 p-進 L 関数をどのように定義できるか？
• RQ3 Perrin-Riou のメイン予想は、これらの新しい整数係数対象を用いて定式化された符号付きメイン予想と同値か？
• RQ4 Coleman に適応させた Kolyvagin 系の理論により、明示的相互法則予想からメイン予想の一部を導出できるか？
• RQ5 この枠組みは、楕円曲線を越えて Kobayashi の ±-理論をどの程度一般化できるか？

主な発見

• 論文は、特定の技術的条件を満たす p-進ガロア表現のクラスに対して、局所 Iwasawa コホロロジー群に符号付き Coleman 写像を構成する。
• 明示的相互法則予想の下で、整数係数 p-進 L 関数を定義し、符号付きメイン予想の一方の包含関係を証明する。
• 楕円曲線で supersingular reduction かつ a_p = 0 の場合、構成された p-進 L 関数は、符号の違いを除き Pollack の ±-p-進 L 関数と一致する。
• Coleman 写像の核を用いて定義された Selmer 群は、楕円曲線の場合に Kobayashi の ±-Selmer 群と同型であることが示される。
• Coleman に適応させた Kolyvagin 系の理論により、明示的相互法則予想からメイン予想の包含関係を導出可能である。
• この枠組みは、p で非通常還元をもつアーベル多様体に関連するモチーフに対して、Kobayashi や Pollack の ±-Iwasawa 理論を一般化する。