[論文レビュー] An Equivariant Tensor Product on Mackey Functors.

Kristen Mazur|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、巡回 $p$-群 $G$ の部分群 $H$ に対する $H$-Mackey関手から $G$-Mackey関手を構成するノルム関手を、内在的な代数的性質に基づく生成子と関係式を用いて導入する。Mackey関手の圏にモノイダル構造を定義し、Tambara関手を可換環対象として同定することで、-equivariant homotopy theory と代数的構造を統合する。

ABSTRACT

For all subgroups $H$ of a cyclic $p$-group $G$ we define norm functors that build a $G$-Mackey functor from an $H$-Mackey functor. We give an explicit construction of these functors in terms of generators and relations based solely on the intrinsic, algebraic properties of Mackey functors and Tambara functors. We use these norm functors to define a monoidal structure on the category of Mackey functors where Tambara functors are the commutative ring objects.

研究の動機と目的

• 巡回 $p$-群 $G$ の部分群 $H$ に対して、$H$-Mackey関手を $G$-Mackey関手に拡張するノルム関手を定義すること。
• Mackey関手およびTambara関手の代数的構造に基づく生成子と関係式のみを用いて、これらの関手を明示的に構成すること。
• $G$-Mackey関手の圏にモノイダル構造を確立すること。
• このモノイダル圏における可換環対象としてTambara関手を同定すること。
• 内在的な代数的手段により、-equivariant代数的構造と圏論的モノイダル性を統合すること。

提案手法

• ノルム関手は、Mackey関手およびTambara関手の内在的代数的性質から導かれる生成子と関係式を用いて構成される。
• この構成は、巡回 $p$-群 $G$ のすべての部分群 $H$ に適用され、群作用と整合性を持つように保証される。
• $G$-Mackey関手の圏におけるモノイダル構造は、これらのノルム関手をテンソル積として定義される。
• テンソル積が結合的かつ単位的であり、対称モノイダル圏の公理を満たすことが示される。
• この構造が、Tambara関手がこの圏における可換環対象であることを検証する。
• トポロジカルまたはホモトピー的道具を一切用いず、代数的関係およびファンクター性に完全に依拠するアプローチである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回 $p$-群 $G$ の部分群に対して、$H$-Mackey関手から $G$-Mackey関手へのノルム関手をどのように体系的に構成できるか？
• RQ2 トポロジカルモデルに依存せずに、このようなノルム関手を定義するのに十分な代数的関係は何か？
• RQ3 これらのノルム関手をテンソル積として用いることで、$G$-Mackey関手の圏にモノイダル構造を定義できるか？
• RQ4 このモノイダル圏における可換環対象はどの対象か？
• RQ5 Tambara関手は、この構成においてなぜ自然に可換環対象として現れるのか？

主な発見

• ノルム関手は、巡回 $p$-群 $G$ のすべての部分群 $H$ に対して、$H$-Mackey関手を $G$-Mackey関手に持ち上げる体系的で代数的に定義された方法を提供する。
• この構成は完全に内在的であり、Mackey関手およびTambara関手の代数的構造に基づく生成子と関係式にのみ依存する。
• これらのノルム関手をテンソル積として用いることで、$G$-Mackey関手の圏に明確に定義されたモノイダル構造が確立される。
• Tambara関手は、このモノイダル圏における可換環対象として同定される。
• モノイダル構造は群作用と整合性を持ち、必要な整合性条件を満たす。
• このアプローチは、-equivariant Mackey関手の圏におけるテンソル積の純粋な代数的基盤を提供する。