[論文レビュー] An exact pressure evolution equation for the incompressible Navier-Stokes equations

Massimo Tessarotto, Marco Ellero+3 more|ArXiv.org|Dec 7, 2006

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非圧縮性ナビエ-ストークス流れにおける流体圧力の正確な双曲型時間発展方程式を導出しており、数値的に楕円型のポアソン方程式を解く必要を回避する。この方程式はラグランジュ的動力学系の枠組みから導出され、流体粒子の軌道に沿った圧力の時間発展を可能にし、漸近的近似を用いない効率的なラグランジュ型CFDシミュレーションの基盤を提供する。

ABSTRACT

In this paper the issue of the determination of the fluid pressure in incompressible fluids is addressed, with particular reference to the search of algorithms which permit to advance in time the fluid pressure without actually solving numerically the Poisson equation. Based on an inverse kinetic approach recently proposed for the incompressible Navier-Stokes equations we intend to prove that an exact evolution equation can be obtained which advances in time self-consistently the fluid pressure. The new equation is susceptible of numerical implementation in Lagrangian CFD simulation codes.

研究の動機と目的

• 非圧縮性流れシミュレーションにおける繰り返しポアソンソルバーの必要性をなくすために、圧力の正確な時間発展方程式を導出すること。
• 圧力の決定問題を楕円型（ポアソン）方程式から、ラグランジュ法に適した双曲型時間発展方程式に再定式化すること。
• 人工圧縮性法や圧力補正スキームなどの漸近的圧力に基づく手法に対する数学的に厳密な代替手法を提供すること。
• 粒子ベースのCFDコードにおける数値実装を可能にするために、流体粒子の軌道に沿った自己無矛盾な圧力時間発展を定義すること。

提案手法

• ナビエ-ストークス動力学系に逆運動論的アプローチを適用し、圧力の新しい時間発展方程式を導出する。
• 流体圧力がN-S動力学系で定義される粒子軌道に沿って時間発展するラグランジュ座標系を導入する。
• 新方程式が同時に非圧縮性条件（∇·V = 0）および圧力のポアソン方程式と等価であることを確立する。
• 粒子軌道に沿った対流微分を用いて、ポアソン方程式を解かずに圧力の時間発展を表現する。
• 時間方向にEuler近似を適用し、数値実装に適した実用的アルゴリズム形式を導出する。
• C^(2,1)正則性における強い解の仮定の下で、元のINSE系との一貫性を示すことにより、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性ナビエ-ストークス流れにおいて、ポアソン方程式を解かずに正確な圧力時間発展方程式を導出可能か？
• RQ2 圧力決定問題をラグランジュ座標系における双曲型時間発展方程式に再定式化可能か？
• RQ3 この新方程式は、漸近的近似を用いずに粒子ベースのCFDシミュレーションに数値実装可能か？
• RQ4 導出された方程式は、非圧縮性および運動量保存則を正確に保持するか？
• RQ5 有効マッハ数を用いる場合、この新圧力時間発展方程式にどのような意味があるか？

主な発見

• ポアソン方程式および非圧縮性条件の両方と等価な正確な圧力時間発展方程式が導出され、ポアソンソルバーの必要性が排除される。
• 圧力の時間発展はラグランジュ的粒子軌道に沿った双曲型方程式として表現され、繰り返し楕円型ソルバーを用いずに時間発展が可能となる。
• 方程式はC^(2,1)正則性における強い解に対して有効であり、仮定された条件下で領域Ω×I全域にわたって成り立つ。
• 実用的数値実装のため、低有効マッハ数展開（例えば拡散近似）を用いた漸近的解の構築が可能である。
• 初期速度および圧力のスケーリングを任意に設定可能であり、広範な流れ状態および数値スキームに適している。
• 本手法は、計算流体力学における将来のラグランジュ的粒子シミュレーション手法の厳密な基盤を提供する。