[論文レビュー] An Exactly Solvable Constrained XXZ Chain

F C Alcaraz, R. Z. Bariev|ArXiv.org|Apr 2, 1999

Product Development and CustomizationBusiness, Management and Accounting参考文献 1被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、スピンアップが距離 $ t $ 以内に存在することを禁止するハードコア制約を導入することで、XXZモデルの一般化として、正確に解ける量子スピン鎖の新規族を提案する（$ t = 0,1,2,\dots $）。座標バーティ・アンザッツを用いて、正確なバーティ・アンザッツ方程式を導出し、有限サイズスケーリングにより臨界指数を計算した結果、半フィルイン状態 $ \rho = 1/(t+2) $ における臨界的性質は $ \Delta $ に依存せず、$ X_p = (t+2)^2/4 $ となることが明らかになった。また、$ \Delta \to -\infty $ の極限では、有効な $ t' = t+1 $ を持つフェルミオンに類似した自由粒子系に写像される。このモデルは $ \Delta < -1 $ に対しても非自明な臨界性を示し、標準的なXXZ鎖を超えた可積分性の延長を示している。

ABSTRACT

A new family of exactly solvable models is introduced. These models are generalizations of the XXZ chain where the distance among spins up ($σ^z$-basis) cannot be smaller or equal to t (t=0,1,2,...). The case t=0 recovers the standard XXZ chain. The coordinate Bethe ansatz is applied and the phase diagram is calculated. Exploring the finite-size consequences of conformal invariance the critical exponents are evaluated exactly at the critical regions of the phase diagram

研究の動機と目的

• スピンアップ粒子間の最小距離 $ t $ を課えることで、可積分なXXZスピン鎖を一般化すること。
• この制約下でも可積分性を保ち、非局所的相互作用に対してもバーティ・アンザッツの適用を拡張すること。
• 有限サイズスケーリングと conformal field theory を用いて、低エネルギー極限における臨界指数を計算すること。
• 相図および臨界的性質、特に半フィルイン状態および $ \Delta \to -\infty $ の極限における性質を調査すること。
• 強い反発極限における制約付きモデルと自由フェルミオンに類似した系との間の写像関係を確立すること。

提案手法

• 局所的フェルミオン排他 $ P_0 $ を、2つのスピンアップが距離 $ \leq t $ 以内に存在することを禁止する非局所的射影演算子 $ P_t $ に置き換えることで、XXZハミルトニアンを一般化する。
• スピンなしフェルミオンを用いて、修正された hopping 項と密度相互作用項を含むハミルトニアンを定式化する：$ H_t(\Delta) = -\sum_i P_t (c_i^\dagger c_{i+1} + \text{h.c.} + \Delta n_i n_{i+t+1}) P_t $。
• 波動関数 $ \Psi = \sum_{x_1 < \cdots < x_n} a(x_1,\dots,x_n) |x_1,\dots,x_n\rangle $ に対して座標バーティ・アンザッツを適用し、振幅 $ a = \sum_P A_k e^{i\sum k_j x_j} $ を用いる。
• $ t > 0 $ に対してバーティ・アンザッツ方程式を導出し、これはサイズ $ L' = L - tn $ の twisted boundary conditions を持つ標準的なXXZ鎖のものに帰着する。
• エネルギー準位の有限サイズスケーリングを用いて臨界指数 $ X_p $ を抽出し、半フィルイン状態においては $ X_p = \frac{1}{4}(t+2)^2(\pi - \gamma) $ を用いて conformal field theory と関連付ける。
• $ \Delta \to -\infty $ の極限を解析し、系が有効に $ t' = t+1 $ と $ \Delta = 0 $ を持つモデルに写像されることを示し、$ \rho < 1/(t+2) $ の場合に $ X_p = 1/[4(1 - \rho(t+1))^2] $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピンアップ粒子間の最小距離 $ t $ を課えることで、XXZ鎖の可積分性およびスペクトルにどのような影響を与えるか？
• RQ2 制約付きXXZ鎖の正確な臨界指数は何か？また、$ \Delta $、$ t $、粒子密度 $ \rho $ にどのように依存するか？
• RQ3 半フィルイン状態 $ \rho = 1/(t+2) $ における臨界的性質は $ \Delta $ に依存しないが、その理由は何か？
• RQ4 $ \Delta \to -\infty $ の極限におけるモデルの有効な低エネルギー記述は何か？
• RQ5 バーティ・アンザッツは $ t > 0 $ の非局所的制約へ一般化可能か？また、twisted boundary conditions とどのように関係するか？

主な発見

• 制約付き鎖（$ t > 0 $）のバーティ・アンザッツ方程式は、サイズ $ L' = L - tn $ で twisted boundary conditions を持つ標準的なXXZ鎖のものと等価である。
• 半フィルイン状態 $ \rho = 1/(t+2) $ において、臨界指数は $ X_p = (t+2)^2/4 $ であり、$ \Delta $ に依存しない。これはギャップの閉じによるものであり、相互作用効果によるものではない。
• $ \Delta \to -\infty $ の極限および $ \rho < 1/(t+2) $ の場合、モデルは有効に $ t' = t+1 $ を持つ自由フェルミオン系に写像され、$ X_p = 1/[4(1 - \rho(t+1))^2] $ を得る。
• 低密度 $ \rho \to 0 $ のとき $ X_p = 1/4 $ であり、高密度 $ \rho \to 1/(t+1) $ のとき $ X_p = (t+1)^2/4 $ となる。これは相互作用が無視できるため、$ \Delta = 0 $ の場合と一致する。
• $ \Delta < -1 $ の場合、臨界指数は非自明であり、標準的なXXZ鎖（$ t=0 $）に対しても以前に報告されていなかった。
• $ t = -1 $ のモデルも正確に解ける。これはサイト占有が無制限であるに対応し、バーティ・アンザッツ方程式は $ t = -1 $ にまで拡張可能であり、無限次元行列を用いてハミルトニアンを実現可能である。