[論文レビュー] An example of failure of stochastic homogenization for viscous Hamilton-Jacobi equations without convexity

Jean-Baptiste Fermanian, Bruno Ziliotto+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ハミルトニアンに凸性が欠如する場合、粘性ハミルトン・ヤコビ方程式における確率的均質化が失敗することを示しており、2次元における具体的な例を構築している。そのハミルトニアンは強制的かつリプシッツ的であり、定常的かつエルゴード的な確率的ポテンシャルを有する。失敗の原因はハミルトニアン内に厳密な鞍点が存在することに起因し、その場合、有効ハミルトニアンを定義できない。これは、凸性のもとで知られている均質化結果とは矛盾する。

ABSTRACT

We give an example of the failure of homogenization for a viscous Hamilton-Jacobi equation with non-convex Hamiltonian.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンが非凸である場合に、粘性ハミルトン・ヤコビ方程式における確率的均質化が成り立つかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 非凸で1階のハミルトン・ヤコビ方程式における既知の均質化の失敗を、粘性設定へと拡張すること。
• ハミルトニアンに厳密な鞍点を有する2次元での具体的な反例を構築すること。
• 有界でリプシッツ連続な正則性および強制性を満たしても、非凸性下では有効ハミルトニアンが定義できないことを示すこと。
• 従来、1階の設定で用いられた動的ゲーム理論的構成法が、粘性方程式における非均質化の証明に適応可能であることを示すこと。

提案手法

• ハミルトニアンを $ H(p,x, heta) = h(p) - c_ heta(x) $ の形に構成し、$ h(p) $ は強制的かつ $ p_0 $ に厳密な鞍点を持つものとし、$ c_ heta(x) $ は定常的かつエルゴード的で、有界かつ1リプシッツな確率的場とする。
• 空間 $ \mathbb{R}^2 $ を交互に符号を持つ長方形にランダムなタイル分割することで、確率的場 $ c_\theta(x) $ を定義し、エルゴード性と定常性を保証する。
• ゼロ和微分ゲームの表現に基づく上解・下解の議論を用いて、解 $ u^\varepsilon $ の長時間平均を評価する。
• 大きな水平長方形で $ c = -\frac{1}{2} $ となる構造を活用し、時間列 $ T_k $ 沿って $ -\frac{1}{2} + \eta $ の割合で成長する上解 $ u^+ $ を構築する。
• 90度回転と符号反転を用いて対称的な下解 $ u^- $ を構築し、正の確率集合上で $ \limsup \frac{1}{T} u(T,0,\omega) \geq \frac{1}{2} - \eta $ を示す。
• 比較原理を適用し、解が確定的有効ハミルトニアンに収束できないことを結論づける。これは、長時間平均が実現 $ \omega $ に依存するためである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンが非凸である場合に、粘性ハミルトン・ヤコビ方程式における確率的均質化は成立するか？
• RQ2 1階の設定で観察された均質化の失敗は、粘性設定へと拡張可能か？
• RQ3 非凸ハミルトニアンに厳密な鞍点を有する具体的な例で、粘性設定下での均質化が失敗するものは存在するか？
• RQ4 1階の非凸設定で用いられた動的ゲーム理論的構成法は、粘性設定に適応可能で、非均質化の証明に利用可能か？
• RQ5 ハミルトニアンおよび確率的環境にどのような条件が存在すると、有効ハミルトニアンの存在が不可能になるか？

主な発見

• 強制性、リプシッツ連続性、および確率的ポテンシャルの有界性が満たされても、厳密な鞍点を有する非凸ハミルトニアンを有する粘性ハミルトン・ヤコビ方程式では、均質化が失敗する。
• 解の長時間平均 $ \frac{1}{T} u(T,0,\omega) $ は、正の確率集合上で $ \liminf \frac{1}{T} u(T,0,\omega) \leq -\frac{1}{2} + \eta $ を満たし、別の集合では $ \limsup \frac{1}{T} u(T,0,\omega) \geq \frac{1}{2} - \eta $ を満たすため、確定的極限に収束しない。
• 有効ハミルトニアン $ \bar{H} $ は存在しない。これは、解の漸近的挙動が確率的環境 $ \omega $ に依存するためであり、均質化の要件を満たさない。
• この構成は、符号が交互に付与された長方形にランダムにタイル分割された $ \mathbb{R}^2 $ の対称的で確率的なタイル分割に依存しており、ポテンシャル場の定常性とエルゴード性を保証する。
• この例は頑健で一般化可能である。任意の $ n \geq 2 $ に対して、$ h(p) $ が強制的かつ厳密な鞍点を持つ場合、均質化が失敗するような確率的ポテンシャル $ c(x) $ が存在する。
• 失敗の原因は、$ h(p) $ の鞍点と確率的環境との相互作用に起因する。解の成長率は、確率的場の空間的配置に依存し、確定的有効ダイナミクスの出現を妨げる。