[論文レビュー] An existence result for Discrete Dislocation Dynamics in three dimensions

Thomas Hudson|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 58被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、滑らかなすべり分布を用いて曲がった不純度線に対する正則化エネルギーを定式化し、内変動を用いてPeach–Koehler力の導出を行うことで、3次元離散的不純度ダイナミクス（DDD）の数学的に厳密な枠組みを確立する。離散時間における勾配流スキームを用いて、無限大の不純度線密度が形成されるまでの時間まで、散逸的運動法則の存在および正則性を証明する。

ABSTRACT

We present a mathematical framework within which Discrete Dislocation Dynamics in three dimensions is well-posed. By considering smooth distributions of slip, we derive a regularised energy for curved dislocations, and rigorously derive the Peach-Koehler force on the dislocation network via an inner variation. We propose a dissipative evolution law which is cast as a generalised gradient flow, and using a discrete-in-time approximation scheme, existence and regularity results are obtained for the evolution, up until the first time at which an infinite density of dislocation lines forms.

研究の動機と目的

• 3次元DDDにおける適切に定式化された数学的枠組みを確立し、3次元DDDに明確な理論的基盤が欠如している問題を解決すること。
• 滑らかなすべり分布に基づく正則化エネルギーを構築することで、応力、ひずみ、エネルギー密度場の特異性を回避すること。
• 正則化エネルギーの内変動を用いて不純度ネットワーク上のPeach–Koehler力を厳密に導出し、物理的整合性を保証すること。
• 一般化勾配流として定式化された散逸的運動法則を提案し、エネルギーの減少と物理的現実性を確保すること。
• 無限大の不純度線密度が形成される最初の時刻まで、DDD運動法則の解の存在および正則性を証明すること。

提案手法

• すべり境界の位相的および運動的制約を満たすために、不純度線を閉じた1次電流（向き付けられたリプシッツ曲線）としてモデル化する。
• 内部エネルギーを滑らかさに依存する滑らかなすべり分布に基づく二重積分として正則化し、不純度線の境界にのみ依存させることで、特異性のない場を保証する。
• フーリエ解析とMuraの枠組みを用いて、弾性グリーン関数の明示的知識なしに計算可能なエネルギー核を導出する。
• 不純度位置に関するエネルギー汎関数の内変動を用いてPeach–Koehler力を導出し、物理的に整合性のある駆動力の表現を得る。
• 適切なヒルバート空間における一般化勾配流として散逸的運動法則を定式化し、エネルギー散逸を保証する。
• 勾配流に対して離散時間における時間近似スキームを適用し、特異性発生時刻までの解の存在および正則性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非特異な応力およびエネルギー場を保証する3次元離散的不純度ダイナミクスの数学的に適切に定式化された枠組みを確立できるか？
• RQ2 曲がった不純度ネットワーク上でのPeach–Koehler力は、正則化エネルギー汎関数から厳密に導出可能か？
• RQ3 エネルギー減少と物理的整合性を保証する不純度運動の適切な散逸的運動法則は何か？
• RQ4 無限大の不純度線密度が形成されるまでの時点で、DDD運動法則の解の存在および正則性を証明できるか？
• RQ5 明示的なグリーン関数を必要としない計算可能なエネルギー核を提供することで、理論を実用的DDDシミュレーションと適合可能かつ計算可能にする方法は何か？

主な発見

• 滑らかなすべり表面の境界（すなわち、不純度線）にのみ依存する正則化エネルギー汎関数が導出され、非特異な応力およびエネルギー場が保証される。
• エネルギーの内変動を用いてPeach–Koehler力が厳密に導出され、不純度ネットワーク上での駆動力の数学的に整合性のある表現が得られる。
• 運動法則は一般化勾配流として定式化され、内部エネルギーが時間とともに散逸することを保証する。
• 離散時間近似スキームを用いて、DDD運動法則の解の存在および正則性が証明される。
• 解は、不純度線密度が無限大に達する最初の時刻まで存在し、これは系の自然な特異性発生時刻として位置づけられる。
• 理論は一般の線形弾性材料（異方性材料を含む）に適用可能であり、明示的なグリーン関数を必要としない計算可能なエネルギー核を提供する。