[論文レビュー] An explicit approach to residues on and dualizing sheaves of arithmetic surfaces

Matthew Morrow|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、2次元局所体を用いて、算術的表面の剰余の明示的理論を構築し、点回りの微分形式に対する再帰的法則を確立し、剰余写像を用いて相対双対化層を構成する。主な貢献は、整数的剰余を用いた双対化層の明示的公式であり、有限剰余体を持つデデキンド環上での算術的表面へ古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

We develop a theory of residues for arithmetic surfaces, establish the reciprocity law around a point, and use the residue maps to explicitly construct the dualizing sheaf of the surface. These are generalisations of known results for surfaces over a perfect field. In an appendix, explicit local ramification theory is used to recover the fact that in the case of a local complete intersection the dualizing and canonical sheaves coincide.

研究の動機と目的

• 2次元局所体を用いて算術的表面の剰余の理論を構築すること。
• 2次元の正則で完全な局所環（次元2）上の点回りの微分形式に対する再帰的法則を確立すること。
• 局所剰余写像を用いて算術的表面の相対双対化層を明示的に構成すること。
• 古典的な正則層と双対化層の関係を、特に局所的完全交差の場合に算術的設定へ一般化すること。
• 算術幾何におけるグローテンディーク双対性への明示的アーデール的アプローチを提供すること。

提案手法

• 混合特徴値の2次元局所体上の連続微分形式に対して相対的剰余写像を定義すること。
• 局所体の有限拡大における剰余写像の関手的性質を証明すること。
• 有限剰余体を持つ正則で完全な2次元局所環上での微分形式の再帰的性質を確立すること。
• 閉点および曲線における局所剰余写像を用いて、双対化層のグローバルセクション条件を定義すること。
• 明示的局所分岐理論を適用し、完全交差環における微分の理想とヤコビアン行列式の関係を特定すること。
• 局所的完全交差の場合に、双対化層と正則層がヤコビアン行列式を介して一致することを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合特徴値における算術的表面の微分形式に対して、どのようにして剰余を明示的に定義できるか？
• RQ2 完全離散付値環上の正則で2次元の局所環上での微分形式に対する再帰的法則の正確な形は何か？
• RQ3 どのようにして局所剰余写像を用いて算術的表面の相対双対化層を明示的に構成できるか？
• RQ4 算術的設定において、正則層と双対化層が一致する条件は何か？
• RQ5 混合特徴値の局所環上での局所的完全交差環において、微分の理想とヤコビアン行列式の関係は何か？

主な発見

• 再帰的法則が成り立つ：局所体 K 上の完全で正則な2次元局所環の函数体上の任意の微分形式 ω に対して、すべての高さ1の素点における剰余の和は0に等しい。
• 平坦かつ射影的な算術的表面 π:X→Spec(𝒪_K) の双対化層 ω_π は、すべての x∈y⊂U および f∈𝒪_{X,y} に対して、Res_{x,y}(fω) が π(x) における K の完備化に属するような微分形式 ω の集合として明示的に与えられる。
• 局所的完全交差算術的表面では、正則層と双対化層が一致し、古典的代数幾何学の結果が一般化される。
• 正則環の有限拡大 A/B の対偶はヤコビアン行列式の逆元で与えられ、すなわち ℂ(A/B) = J^{-1}A である。
• 完全離散付値環上での完全交差の場合、双対化モジュールはヤコビアンイデアルの逆と同型である。
• 剰余写像は関手的である：F'/F が2次元局所体の有限拡大であるとき、Res_F ∘ Tr_{F'/F} = Res_{F'} が成り立つ。