[論文レビュー] Semiinfinite symmetric powers

Mikhail Kapranov|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2001

advanced mathematical theories参考文献 10被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、局所線形コン pact 実ベクトル空間上の半無限対称冪の理論を、有限次元部分商への二重射影極限として滑らかな測度および微分形式の空間を構成することによって導入する。双対空間上の測度空間間のフーリエ変換を確立し、異常構造が単純化された半無限 de Rham複体を定義する。これは非アルキメデス体および半無限ウェッジ理論からの構成を一般化する。

ABSTRACT

We develop a theory of measures, differential forms and Fourier tramsforms on some infinite-dimensional real vector spaces by generalizing the following two constructions: (a) The construction of the semiinfinite wedge power of a Tate vector space V. Recall that it is obtained as a certain double inductive limit of the exterior algebras of finite-dimensional subquotients of V. (b) The construction of the space of measures on a nonarchimedean local field K with maximal ideal M as a double projective limit of the spaces of measures (=functions) on finite subquotients M^i/M^j of K.

研究の動機と目的

• 非アルキメデス局所体から高次元局所体（例：$\mathbb{R}((t))$ および $\mathbb{C}((t))$）への測度および微分形式理論の一般化を図ること。
• 半無限ウェッジ冪理論の理論を拡張し、局所線形コン pact ベクトル空間を用いた無限次元解析における半無限構造の枠組みを提供すること。
• 測度論における射影的表現問題を、ハール理論をgerbeとして導入することによって解決し、一貫性のあるフーリエ双対性を可能にすること。
• 方向性データからの $\mathbb{Z}/2$-拡張として最小限の異常を持つ半無限 de Rham 複体を定義すること。
• 測度および形式をプロオブジェクトではなくインダクティブ・プロオブジェクトとして扱うことで、表現論、代数幾何学、解析学の構成を統一すること。

提案手法

• Lefschetz や Chevalley の枠組みを一般化し、局所線形コン pact $\mathbb{R}$-ベクトル空間を基礎的設定として定義する。
• 開線形コン pact 部分空間 $U \subset V$ における二重射影極限として、滑らかな測度空間 $M_h(V)$ を構成し、射影的異常を解消するためのハール理論 $h$ を組み込む。
• 双対ハール理論 $h^\vee$ を持つポンティャーギン双対 $V^\vee$ 上の測度空間 $M_{h^\vee}(V^\vee)$ へのフーリエ変換を定義し、双対性の整合性を保証する。
• 部分商 $U_1/U_2$ 上の de Rham 複体の二重射影極限として、半無限 de Rham 複体 $\Omega^\bullet(V)$ を定義し、次数 $\overline{1}$ の微分を導入する。
• 超代数的技法（$\Lambda[\epsilon]$-拡張および Berezin 積分を含む）を用い、自己同型の下での微分の自然性を示す。
• この枠組みを複体に適用し、有界適切複体 $V^\bullet$ に対して $M_h(V^\bullet)$ を定義し、半無限 Koszul 複体を特別な場合として構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元局所体から2次元局所体（例：$\mathbb{R}((t))$）への測度および微分形式理論をどのように一般化できるか？
• RQ2 解析的および表現論的構造を統合する半無限次元の対称冪の正しい無限次元版は何か？
• RQ3 $GL(V)$ の測度上の射影的作用を、ハール理論のgerbeを用いてどのように解消できるか？
• RQ4 半無限 de Rham 複体における異常構造はどのようなものか？測度空間における異常と比べてどう異なるか？
• RQ5 半無限 Koszul 複体は自然に定義可能であり、半無限 de Rham 複体とどのように関係するか？

主な発見

• 局所線形コン pact $\mathbb{R}$-ベクトル空間 $V$ 上の滑らかな測度空間 $M_h(V)$ は、二重射影極限として構成され、ハール理論を用いることで射影的表現問題が解消される。
• 測度空間 $M_h(V)$ から双対空間上の $M_{h^\vee}(V^\vee)$ へのフーリエ変換が定義され、古典的フーリエ解析を無限次元に一般化する双対性が確立される。
• 半無限 de Rham 複体 $\Omega^\bullet(V)$ の異常は、方向性データからの $\mathbb{Z}/2$-中心拡張にまで簡略化され、$\mathbb{C}$-空間では完全に消滅する。
• 純粋に奇数次元の超ベクトル空間に対しては、$D_h(V)$ が半無限外積冪 $\Lambda^{\infty/2 + \bullet}_\Delta(\overline{V})$ と一致し、既知の半無限ウェッジ理論と整合性を示す。
• $M_h(V)$ の双対である $D_h(V)$ は、$V$ の開線形コン pact 部分空間に対応するすべての真空モジュールを自然に含み、半無限対称冪の普遍的実現を提供する。
• 複体 $V \xrightarrow{\text{id}} V$ に対する半無限 Koszul 複体 $M_h(CV)$ は、シフトを除き $\Omega^\bullet_O(V)$ と同型であり、$V$ 上の方向性gerbeと関係している。