[論文レビュー] An explicit formula for a star product with separation of variables

Alexander Karabegov|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、擬擬ケーラー多様体上の変数分離付き標準スター積における左スター乗算作用素 $ L_f $ の全記号の明示的・閉形式の公式を提示する。余接 bundle 上の修正された微分作用素枠組みを用いることで、公式 $ F = e^D (1 - \Gamma_1^{-1}Q)^{-1}f $ が得られ、$ L_f $ の記号からスター積 $ f \ast g $ を直接計算可能となり、変形量子化における構成的解法が得られる。

ABSTRACT

For a star product with separation of variables * on a pseudo-Kaehler manifold we give a simple closed formula of the total symbol of the left star multiplication operator L_f by a given function f. The formula for the star product f * g can be immediately recovered from the total symbol of L_f.

研究の動機と目的

• 擬ケーラー多様体上での変数分離付き標準スター積における左スター乗算作用素 $ L_f $ の全記号の閉形式表現を導出すること。
• 全記号 $ L_f $ から直接スター積 $ f \ast g $ を再構成する手法を提供すること。
• 形式的変形 $ \omega_{-1} $ の任意の形式的変形に一般化するため、$ \Gamma_r $、$ D $、$ Q $ の作用素を修正すること。
• 記号の空間にフィルトレーションによって誘導される位相における全記号の収束級数表現を確立すること。

提案手法

• 本手法は、擬ケーラー多様体上の座標近傍 $ U $ における余接 bundle $ T^*U $ 上の形式的微分作用素枠組みを用いる。
• 形式的ポテンシャル $ \Phi $ から導かれる作用素 $ D = G^{\bar{l}k} \zeta_k \frac{\partial}{\partial \bar{z}^l} $ を導入する。
• $ \Gamma_r = G_{k_1\ldots k_r \bar{l}} G^{\bar{l}k} \zeta_k \frac{\partial^r}{\partial \zeta_{k_1} \ldots \partial \zeta_{k_r}} $ として定義される作用素は、スター積の変形構造を符号化する。
• 重要な要素として、$ Q = -e^{-D} \left( \sum_{r=2}^\infty \frac{1}{r!} \Gamma_r \right) e^D $ が挙げられ、これは記号をより高いフィルトレーションレベルへ写像する。
• 解は恒等式 $ F = e^D (1 - \Gamma_1^{-1}Q)^{-1}f $ により得られ、$ F $ は $ L_f $ の全記号であり、逆作用素は収束するネウマン級数として表現される。
• 形式的ポテンシャル $ \Phi $ を用いて $ \Gamma_r $ と $ D $ を再定義することにより、$ \omega_{-1} $ の非自明な形式的変形に対しても公式を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数分離付き標準スター積における左スター乗算作用素 $ L_f $ の全記号について、閉形式表現を導出可能か。
• RQ2 全記号 $ L_f $ から直接スター積 $ f \ast g $ を再構成する方法は何か。
• RQ3 擬ケーラー形式の任意の形式的変形に一般化するため、微分作用素 $ \Gamma_r $、$ D $、$ Q $ に必要な修正は何か。
• RQ4 全記号の級数表現は、記号空間上のフィルトレーション位相で収束するか。

主な発見

• 左スター乗算作用素 $ L_f $ の全記号 $ F $ は明示的に $ F = e^D (1 - \Gamma_1^{-1}Q)^{-1}f $ として与えられ、閉形式解が得られる。
• この公式は、$ \omega = \frac{1}{\nu}\omega_{-1} $ としての自明な変形に対応する標準スター積と一致する。
• $ (1 - \Gamma_1^{-1}Q)^{-1} $ の逆作用素は存在し、収束するネウマン級数として表現可能であり、フィルトレーション位相での収束を保証する。
• 本手法により、$ f \ast g = L_f g $ を全記号 $ F $ から直接計算することでスター積 $ f \ast g $ を再構成可能である。
• 形式的ポテンシャル $ \Phi $ を用いて $ \Gamma_r $ と $ D $ を修正することにより、$ \omega_{-1} $ の任意の形式的変形に公式を一般化可能である。
• 得られる $ F $ の表現は、記号空間上のフィルトレーションによって誘導される位相で収束級数の形を保つ。