[論文レビュー] An Explicit Shimura Tower of Function Fields over a Number Field: An Application of Takeuchi's List

Takehiro Hasegawa|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、エリクスの再帰的手続きを用いて、数体 ℚ(√3) 上の関数体の最初の明示的シャイマーツリーを構成する。具体的には、Shimura曲線 𝒳₀(𝔭₃²) が有理的（ genus 0 ）であることを証明し、n > 1 に対して、係数が ℚ(√3) に属する x_j と x_{j+1} の間の3次関係式を用いて、𝒳₀(𝔭₃ⁿ) が再帰的に定義されることを示し、Goppa符号の構築に適した漸近的最適なツリーを構成する。

ABSTRACT

Elkies proposed a procedure for constructing explicit towers of curves, and gave two towers of Shimura curves as relevant examples. In this paper, we present a new explicit tower of Shimura curves constructed by using this procedure.

研究の動機と目的

• 数体上でのシャイマーツリーの新しい明示的構成を提供し、エリクスの初期研究で示唆されたが構築されていなかったこのようなツリーの空白を埋める。
• 明示的な幾何学的・群論的解析を用いて、ℚ(√3) 上のシャイマーモジュラー曲線 𝒳₀(𝔭₃²) が有理的（つまり、 genus 0 ）であることを証明する。
• アトキン＝レナー作用素とモジュラー多項式の関係を用いて、{𝒳₀(𝔭₃ⁿ)}_{n>1} の再帰的系を導出する。
• このツリーが、ℓ ≠ 2,3 に対して有限体 𝔽_ℓ 上で漸近的に最適であることを示し、符号理論への応用を可能にする。
• 算術的三角形群と明示的シャイマーツリーとの関係を明確にし、この構成の出発点である群 (0;3,3,6) を特定する。

提案手法

• エリクスの再帰的手続きを用いて、K = ℚ(√3) 上の完全実体上の四元数代数の構造を応用し、明示的曲線ツリーを構築する。
• 𝒳₀(𝔭₃²) 上のアトキン＝レナー作用素 ω_(𝔭₃²) を用いて、有理的パラメトライゼーションを導出し、その作用を Möbius 変換型式 ω^(2)(x) = -2(x-1)/(x+2) で特定する。
• 連続する座標 x_j と x_{j+1} の間の再帰的3次方程式を導出する： (-2(x_{j+1}-1)/(x_{j+1}+2))³ = 2((5-3√3)x_j³ + 4)/(x_j³ - 2(5-3√3))。
• 再帰的関係式をカウマー型式に変換する： Y³ = [-8(5-3√3)(X+1)³ + 4(X-2)³] / [4(X+1)³ + (5-3√3)(X-2)³]、ここで X = (2x-2)/(x+2), Y = (2y-2)/(y+2)。
• ハーウィッツの genus 公式と、シグニチャ (0;3,3,3,3,3,3) を持つ関連する算術的三角形群 Γ₂ の楕円的点（位数3）の解析を用いて、𝒳₀(𝔭₃²) が genus 0 であることを証明する。
• 素イデアル 𝔭_ℓ（ℓ ≠ 2,3）を法としてツリーを還元し、𝔽_ℓ 上での漸近的最適性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エリクスの再帰的手続きを用いて、ℚ 以外の数体上でも関数体の明示的シャイマーツリーを構築できるか？
• RQ2 ℚ(√3) 上のシャイマーモジュラー曲線 𝒳₀(𝔭₃²) は有理的か？ もしそうなら、明示的な有理的パラメトライゼーションは存在するか？
• RQ3 このツリーの高次のレベル 𝒳₀(𝔭₃ⁿ)（n > 2）を定義する再帰的方程式系は何か？
• RQ4 このツリーは、有限体上での漸近的最適な関数体をもたらし、符号理論への応用を可能にするか？
• RQ5 算術的三角形群 (0;3,3,6) は、この明示的シャイマーツリーの構成とどのように関係しているか？

主な発見

• ハーウィッツの genus 公式と楕円的点の解析により、ℚ(√3) 上のシャイマーモジュラー曲線 𝒳₀(𝔭₃²) が有理的（すなわち、 genus 0 ）であることが確認された。
• 各 n > 1 に対して、曲線 𝒳₀(𝔭₃ⁿ) は、n−1 個の座標 x₁,…,x_{n−1} が n−2 個の再帰的方程式 (-2(x_{j+1}−1)/(x_{j+1}+2))³ = 2((5−3√3)x_j³ + 4)/(x_j³ − 2(5−3√3)) を満たすことで定義される。
• すべての素数 ℓ ≠ 2,3 に対して、𝔽_ℓ 上でツリーは漸近的に最適である。これは、𝔭_ℓ を法として還元した際に、最大クラス体ツリーの挙動を示すからである。
• 𝒳₀(𝔭₃²) 上のアトキン＝レナー作用素 ω^(2) は ω^(2)(x) = -2(x−1)/(x+2) として作用し、被覆写像の各点の3つの逆像を置換する。
• 導出された方程式から、モジュラー多項式 Φ_{𝔭₃}(x,y) と Φ_{𝔭₃²}(x,y) を明示的に計算可能であり、ツリーが古典的モジュラー多項式理論と関連している。
• この構成は、シグニチャ (0;3,3,6) を持つ算術的三角形群に基づく。タケウチのリストに含まれる残りの73個の群からは、同様の明示的ツリーは構成できない。