[論文レビュー] An explicit solution of a non-linear quadratic constrained stochastic control problem with an application to optimal liquidation in dark pools with adverse selection

Peter Kratz|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ジャンプを伴い、絶対値コスト項を有する非線形2次確率制御問題に対して、状態に依存する多項式アンザッツを用いてハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン偏微分方程式を解ける常微分方程式系に簡略化することで、閉形式解を提示する。主な貢献は、時間に依存する境界における滑らかさ条件を満たす区分的多項式としての価値関数を確立するバリデーション定理であり、これにより悪選択が増加するダークプールにおける明示的な最適解約戦略の構築が可能になる。

ABSTRACT

We study a constrained stochastic control problem with jumps; the jump times of the controlled process are given by a Poisson process. The cost functional comprises quadratic components for an absolutely continuous control and the controlled process and an absolute value component for the control of the jump size of the process. We characterize the value function by a "polynomial" of degree two whose coefficients depend on the state of the system; these coefficients are given by a coupled system of ODEs. The problem hence reduces from solving the Hamilton Jacobi Bellman (HJB) equation (i.e., a PDE) to solving an ODE whose solution is available in closed form. The state space is separated by a time dependent boundary into a continuation region where the optimal jump size of the controlled process is positive and a stopping region where it is zero. We apply the optimization problem to a problem faced by investors in the financial market who have to liquidate a position in a risky asset and have access to a dark pool with adverse selection.

研究の動機と目的

• ジャンプダイナミクスと混合2次および絶対値コスト項を有する非線形2次制約付き確率制御問題を解くこと。
• 終状態制約下での価値関数および最適制御の閉形式解を導出すること。
• 悪選択が増加する実行リスクを伴うダークプールにおける最適解約をモデル化すること。
• 価値関数が終端時刻で特異的であるにもかかわらず、バリデーション定理を確立すること。
• 継続領域と停止領域を時間変動境界で分離する状態依存ポリシーとしての最適制御を特徴づけること。

提案手法

• 価値関数に対する状態に依存する多項式アンザッツを提案：$ v(T,x) = C_1(T,x)x^2 + C_2(T,x)x + C_3(T,x) $、ここで係数は時間と状態に依存する。
• ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン偏微分方程式を、$ C_1, C_2, C_3 $ の連立常微分方程式系に簡略化し、閉形式で解けるようにする。
• 継続領域（$ |x| > \beta(t) $）ではジャンプ制御 $ \eta^* \neq 0 $、停止領域（$ |x| \leq \beta(t) $）では $ \eta^* = 0 $ となる時間に依存する境界 $ \beta(t) $ を定義する。
• 中間状態 $ \beta(t) < |x| < \tilde{\beta}(t) $ に対して、明示的に既知の単射関数の逆関数として得られる暗黙的補間関数を用いる。
• 境界 $ \beta(t) $ で滑らかさ条件を確立し、$ C_1 $、$ C_2 $、$ C_3 $ が境界を越えて連続的微分可能であることを保証する。
• 価値関数および制御の閉形式構造を活用して、終端特異性に対処するバリデーション定理により候補解を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 絶対値項による非滑らか性が生じるにもかかわらず、2次および絶対値コスト項を併せ持つ非線形確率制御問題が閉形式で解けるか。
• RQ2 制御可能なジャンプサイズを有するポアソンジャンプ過程が、最適制御ポリシーの構造に与える影響は何か。
• RQ3 終端制約 $ \lim_{t\to T^-} X^u(t) = 0 $ が価値関数および制御ポリシーの形状に果たす役割は何か。
• RQ4 価値関数が終端時刻で2回連続微分可能でない場合、どのようにバリデーション定理を構築できるか。
• RQ5 悪選択が生じるダークプールにおける最適解約戦略の幾何学的および動的構造は何か。

主な発見

• 価値関数は区分的多項式である：小および大の状態では2次関数であり、中間状態では単射関数の逆関数を用いた暗黙的補間で定義される。
• 最適制御ポリシーは時間に依存する境界 $ \beta(t) $ を有し、継続領域では $ \eta^* \neq 0 $、停止領域では $ \eta^* = 0 $ となる。
• 最適取引強度 $ \xi^* $ は境界 $ |x| = \frac{\Gamma}{2\lambda}(T-t) $ で連続的だが微分可能でなく、戦略に角が生じることを示す。
• リスク中立的解約でダークプールがない場合、最適戦略は定数であるが、ダークプールの実行が含まれると速度が低下し、境界を越えない凹型の軌道が得られる。
• 境界 $ \beta(t) $ は $ \alpha $ の増加に伴い減少し、制御過程のペナルティが高くなるため、より慎重な解約戦略が採られる。
• 価値関数および制御の閉形式構造のおかげでバリデーション定理が成立し、価値関数の非滑らか性に起因する終端特異性の問題が解決される。