[論文レビュー] An extension of the functional Ito formula under a family of non-dominated measures

Harald Oberhauser|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非支配的確率測度族の下で、連続半マルティンゲールの非経路連続的汎関数の広いクラスに、関数的 Itō 公式を拡張する。Bichteler の経路主義的確率積分と因果的微分を活用することで、補助過程を必要とせず、経路主義的 Itō 型分解を確立し、モデル不確実性下での複雑な経路依存的金融デリバティブ、例えばボラティリティ スワップや確率積分への応用を可能にする。

ABSTRACT

Motivated by questions arising in financial mathematics, Dupire introduced a notion of smoothness for functionals of paths (different from the usual Fréchet--Gatéaux derivatives) and arrived at a generalization of Itō's formula applicable to functionals which have a pathwise continuous dependence on the trajectories of the underlying process. We study nonlinear functionals which do not have such pathwise continuity and further work simultaneously under the family of continuous semimartingale measures on path-space. We do this without introducing a second component, as carried out by Cont--Fournie but by using old work of Bichteler which allows to keep a pathwise picture even for complex functionals

研究の動機と目的

• 金融数学における経路連続的でない汎関数への関数的 Itō 公式の一般化を図ること。
• モデル不確実性下で、二次変動や Doléans–Dade 指数のような複雑でロバストでない汎関数を扱うこと。
• Cont–Fournie の手法のように補助過程を導入せず、経路主義的解釈を維持すること。
• 経路主義的微積分と、識別不能性までしか定義されない確率的構成の調和をとること。
• 非支配的測度下で、金融工学における非線形 SPDE を統一的に導出する枠組みを提供すること。

提案手法

• 確率測度を必要としない Bichteler の経路主義的確率積分を用いて、確率積分を定義する。
• Dupire の因果的微分（時間微分 ∂₀F、空間微分 ∇F、ラプラシアン ΔF）を、経路空間上での適応過程として適用する。
• 座標過程 X を備えた右連続左極限経路の標準的空間上を扱い、連続半マルティンゲール測度族 M_c^semi を用いる。
• F ∈ C¹,² として、各 P ∈ M_c^semi に対して、経路主義的分解が成り立つように定義する：Ft − F₀ = ∫(∂₀F + ½ΔF)dr + ∫∇F dX。
• Bichteler–Kunita–Meyer 分解を用いて、経路主義的積分と Itō 过程との識別不能性を確立する。
• この枠組みを用いて、局所ボラティリティモデル下でのボラティリティ スワップやその他の経路依存的ヘッジの SPDE を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補助過程を導入せずに、経路連続的でない汎関数へ関数的 Itō 公式を拡張することは可能か？
• RQ2 経路主義的確率微積分と、識別不能性までしか定義されない確率的構成は、どのように調和させられるか？
• RQ3 因果的微分は、モデル不確実性下での複雑な経路依存的汎関数のダイナミクスを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 経路主義的・非支配的設定下で、Itō 公式は二次変動や確率的指数関数的過程に適用可能か？
• RQ5 ∂₀F + ½ΔF の一意でない性質は、ギャンマ・シータのトレードオフのような金融リスク指標とどのように関係するか？

主な発見

• 非支配的連続半マルティンゲール測度族の下で、経路連続的でないが C¹,² に属する広いクラスの汎関数へ関数的 Itō 公式が拡張可能である。
• F が経路に連続的に依存しない場合でさえ、各 P ∈ M_c^semi に対して、経路主義的分解 Ft − F₀ = ∫(∂₀F + ½ΔF)dr + ∫∇F dX が成り立つ。
• 各 P ∈ M_c^semi に対して、∫σ_{r−}·dX_r の形の確率積分は、Bichteler の理論による経路主義的積分と識別不能である。
• 因果的微分 ∂₀F、∇F、ΔF は、F が経路連続的でない場合でも、適応過程として一意に定義可能である。
• ボラティリティ スワップに関して、局所ボラティリティモデル下で放物型 SPDE ∂v/∂t + (σ²/2)∂²v/∂x² = −σ² が得られ、終期条件 v(T, x) = 0 を満たす。
• この枠組みにより、モデル不確実性下での複雑なデリバティブに対する非線形 SPDE を導出可能であり、非支配的測度下での価格設定とヘッジに応用可能である。