[論文レビュー] Note on Viscosity Solution of Path-Dependent PDE and G-Martingales

Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 49

ひとこと要約

本稿は、完全非線形パス依存PDE（PPDE）のための粘性解フレームワークを導入し、Dupireの水平微分の定義を変更せずに、新たな「左凍結最大化」手法を用いて比較原理を確立する。主な貢献は、解の一意性と安定性を保証する強固な最大原理の確立であり、G-マルティンゲールやG・ブラウン運動下での非線形期待への直接的応用が可能である。

ABSTRACT

In the 2nd version of this note we introduce the notion of viscosity solution for a type of fully nonlinear parabolic path-dependent partial differential equations (P-PDE). We then prove the comparison theorem (or maximum principle) of this new type of equation which is the key property of this framework. To overcome the well-known difficulty of non-compactness of the space of paths for the maximization, we have introduced a new approach, called left frozen maximization approach which permits us to obtain the comparison principle for smooth as well as viscosity solutions of path-dependent PDE. A solution of a backward stochastic differential equation and a G-martingale under a G-expectation are typical examples of such type of solutions of P-PDE. The maximum principle for viscosity solutions of classical PDE, called state dependent PDE, is a special case.

研究の動機と目的

• 完全非線形放物型パス依存PDE（PPDE）のための粘性解理論を確立し、古典的PDE手法を非マルコフ型、関数的イト型方程式へと拡張すること。
• 非コンパクトなパス空間上での、副解と上位解の差の最大化という、比較原理を導出する際の主要な障害を解決すること。
• 解を局所的（パスごとに）に扱うPDEベースのアプローチを構築し、BSDE や G-期待値のようなグローバル確率的計算手法とは対照的であること。
• 新しい左凍結手法を用いて、1次および2次完全非線形PPDEの滑らか解および粘性解に対する比較定理（最大原理）を証明すること。
• 確率係数を有するG-期待値のPDE形式を提供し、確率的制御、リスク測定、非線形価格設定への応用を可能とすること。

提案手法

• Dupireの水平微分の定義を変更せずに、副解と上位解の差の最大化点を特定するための「左凍結最大化」技術を導入する。
• パrameter α を用いた摂動されたテスト関数アプローチを用い、完全非線形PPDEの C^{1,2} 解に対して比較原理を導出する。
• パス依存関数への適応を施した標準的な部分解および上位解の基準を用いて、完全非線形PPDEの粘性解を定義する。
• Dupire（2009）の関数的イト微分法の枠組み（縦方向および水平微分）を用い、パス空間上でのPDE構造を定義する。
• 生成子 G が連続性モジュラス条件（条件16）を満たすG構造を有するPPDEに、修正された最大原理を適用する。
• コンパクト化されたパス空間における最大化点の存在に基づく背理法を用い、左凍結構成により正則性および収束性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BSDE や G-期待値のようなグローバル確率的計算フレームワークを避ける完全非線形パス依存PDEのための粘性解理論は構築可能か？
• RQ2 パス空間が非コンパクトであり、最大化が保証されない状況下で、PPDEに対する比較原理をどのように確立できるか？
• RQ3 左凍結最大化手法は、水平微分の元の定義を保ったまま、最大原理を可能にするか？
• RQ4 2次完全非線形PPDEの粘性解に対して比較原理が成り立つための生成子 G に必要な条件は何か？
• RQ5 新しいPDE形式は、確率係数を有するG-期待値とどのように関係し、確率的制御およびリスク測定にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 左凍結最大化手法により、Dupireの水平微分の定義を変更せずに、完全非線形PPDEの滑らか解および粘性解に対する比較原理が成功裏に確立された。
• 1次および2次完全非線形PPDEに対して、適切な条件下で粘性解の一意性が保証される比較定理が証明された。
• この手法により、最大原理から単調性、正homogeneity、凸性といった重要な性質が導出可能となった。
• 粘性解フレームワークは、BSDE や G-期待値のアプローチとは対照的に、局所的かつパスワイズな解の取り扱いを可能とした。
• 理論は、確率係数を有するG-期待値の新しいPDE形式を支持し、非線形期待理論の適用範囲を拡張した。
• 粘性解に対する比較原理は、解が条件（16）を満たす必要があることが判明しており、これは依然として制限であり、今後の改善分野として特定された。