[論文レビュー] An exterior calculus framework for polytopal methods

Francesco Bonaldi, Daniele A. Di Pietro+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2023

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 51被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、微分形式の多面体複体を初めて導入し、外微分形式の理論と多面体手法を統合することで、一般の多面体メッシュ上での安定で互換性のある離散de Rham複体を構築する。補間子と外微分の間の可換性を確立し、多項式の一貫性を証明し、離散コホモロジーが連続de Rham複体と一致することを示し、複雑なグリッド上でのPDEに対する頑健な数値スキームを可能にする。

ABSTRACT

We develop in this work the first polytopal complexes of differential forms. These complexes, inspired by the Discrete De Rham and the Virtual Element approaches, are discrete versions of the de Rham complex of differential forms built on meshes made of general polytopal elements. Both constructions benefit from the high-level approach of polytopal methods, which leads, on certain meshes, to leaner constructions than the finite element method. We establish commutation properties between the interpolators and the discrete and continuous exterior derivatives, prove key polynomial consistency results for the complexes, and show that their cohomologies are isomorphic to the cohomology of the continuous de Rham complex.

研究の動機と目的

• 一般の多面体メッシュに対して、有限要素外微分形式理論と多面体手法を統合すること。
• 連続de Rham複体のホモロジー構造を保つ離散de Rham複体を構築すること。
• 補間子を介して連続および離散外微分の間の可換性を確立すること。
• 離散および連続複体間の多項式的一致性とコホモロジー同型性を証明すること。
• 任意の多面体要素上で安定で高次数の数値スキームを可能にするための基盤を提供すること。

提案手法

• Discrete De RhamおよびVirtual Element法にインspiredされた多面体手法を用いて、離散de Rham複体を構築する。
• 高レベルで基底に依存しない枠組みを用いて、一般の多面体要素上での離散微分形式を定義する。
• 連続および離散外微分の両方と可換する補間子を実装する。
• 離散設定における境界および制限の性質を、Koszul微分とトレース作用素を用いて定義する。
• 離散形式が多項式の振る舞いを正確に再現することを確認することで、多項式的一致性を確立する。
• 離散複体のコホモロジーが連続de Rham複体のコホモロジーと同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外微分形式の原理を用いて、一般の多面体メッシュ上に離散de Rham複体を構築できるか？
• RQ2 多面体要素上での連続および離散外微分の両方と可換する補間子をどのように設計できるか？
• RQ3 多面体メッシュ上での離散de Rham複体における多項式的一致性を保証する条件は何か？
• RQ4 離散複体は連続de Rham複体のコホモロジー構造を保っているか？
• RQ5 このフレームワークは、非一致界面や複雑なメッシュ上でも安定で高次数の方法をサポートできるか？

主な発見

• 提案された微分形式の多面体複体は、外微分形式の原理を用いて任意の多面体メッシュへde Rham複体を一般化した最初のものである。
• 補間子が連続および離散外微分の両方と可換であり、一貫性と安定性を保証する。
• 離散複体は多項式的一致性を示し、指定された次数までの多項式形式を正確に再現する。
• 離散複体のコホモロジーは連続de Rham複体のコホモロジーと同型であり、位相的構造を保つ。
• 特定のメッシュ上では、標準的な有限要素よりも少ない自由度で済む、より簡素な離散空間を可能にする。
• このアプローチは任意の次数の方法と一般の多面体要素をサポートでき、非一致界面や複雑なグリッドに対応できる。