[論文レビュー] An implementation of a locally modified finite element method for interface problems in deal.II

Stefan Frei, Thomas Richter+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、メッシュ適合を回避するため、固定された四角形パッチ内に局所的な自由度をパラメトリックに埋め込むことで、界面問題における弱い不連続性を解消する局所的に修正された有限要素法を、deal.IIで提示する。この手法は最適収束を達成し、CG/PCGなどの反復解法による効率的な解法を可能にし、2つの数値実験と条件数解析によって性能が検証されている。

ABSTRACT

This source code contains an implementation of the locally modified finite element method first proposed by S. Frei, T. Richter, SIAM Journal on Numerical Analysis 52 (5), 2315-2334. This method is a simple approach to solve interface problems, as arising in fluid-structure-interactions or multi-phase flows, or problems on complex boundaries. The implementation is contained in the files locmodfe.cc/h, together with a user program (step-modfe.cc) that is similar to many deal.II steps (www.dealii.org) and a problem-specific file (problem.h) with specific data for some numerical tests provided in the src folder. The source code is based on the deal.II.8.5.0 version.<br> In the test folder, we provide the parameter files parameters_test_case_1/2.prm, where algorithmic, numerical and physical parameters can be changed. In the current version, parameters are pre-set for the two numerical tests. For the meaning of the parameters, see the detailed comments in the parameter files.<br> <br> Moreover, we provide the output that the program writes to a terminal in the files test_case_1/2.dlog in the same folder, for a comparison of the terminal output results. In the build folder, the file CMakeLists.txt can be used to create a Makefile using cmake, see the explanations given in README.txt. Moreover, the README.txt file provides detailed installation instructions and a compact overview of all source files. Algorithmic descriptions and details of the delivered source code are provided in S. Frei, T. Richter, T. Wick; 2018, arXiv preprint arXiv:1806.00999

研究の動機と目的

• 跳躍係数を有する楕円型界面問題に対して、堅牢で効率的な有限要素法の開発を目的とする。
• 再メッシュなしで移動または曲がった界面を正確に解像できるように、局所的なパラメトリックな拡張を用いることを目的とする。
• 標準コードへの最小限の修正で、deal.II有限要素ライブラリ内にこの手法を実装することを目的とする。
• 得られるシステム行列に対して反復線形解法（CG/PCG）が有効に適用可能であることを示すこと。
• メッシュの細分化および異方性の下での条件数と性能の分析を行うこと。

提案手法

• 四角形のバックグラウンドパッチメッシュを用い、界面に交差する要素に限って、8つの三角形または4つの四角形への局所的細分化を行う。
• 参照パッチと物理的パッチ間のパラメトリック写像を用いて局所的自由度を組み込むことで、明示的なメッシュ生成を回避する。
• 離散レベルセット関数を用いて部分領域の所属関係を特定し、ガウス積分点に可変拡散係数を適用する。
• スケーリングされた階層的基底を構築することでシステムを安定化させ、条件数を制限し、堅牢な反復解法を可能にする。
• 標準的なdeal.IIインfraストラクチャを再利用し、有限要素値および積分評価の部分での局所的修正のみを加える。
• 等しい次数の有限要素と圧力安定化をサポートし、高次元および3次元への拡張も可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再メッシュなしで、局所的に修正された有限要素法が界面問題に対して最適収束を達成できるか？
• RQ2 メッシュの細分化および界面位置の変化の下で、システム行列の条件数はどのように変化するか？
• RQ3 CG や PCG などの反復解法が、得られる線形系に対して効果的に適用可能か？
• RQ4 高対比係数を有する問題において、この手法の精度および収束速度の性能はいかがなものか？
• RQ5 実装の複雑さと安定性の観点から、パラメトリック拡張戦略は、標準的な拡張FEMと比べてどう異なるか？

主な発見

• 数値実験により、跳躍係数を有する楕円型界面問題に対して、本手法が最適収束率を達成することが確認された。
• スケーリングされた階層的基底を用いることで、システム行列の条件数が境界内に保たれ、臨界な界面位置での悪条件化を回避した。
• CG や PCG などの反復解法は、有効的かつスケーラブルであり、メッシュの細分化および異方性の下でも収束特性が堅牢に保たれた。
• 標準deal.IIコードへの修正はわずかで、すべての変更がパッチレベルの有限要素評価に局所的に限定された。
• 本手法は高次元および3次元問題への拡張が可能であり、並列化および境界補正技術の開発は現在進行中である。
• 大変形を伴う流体構造挙動相互作用などの複雑なマルチフィジックス問題にも適していることが、先行応用事例で示された。