[論文レビュー] An Index for 2D field theories with large N=4 superconformal symmetry

Sergei Gukov, Emil J. Martinec+2 more|ArXiv.org|Apr 2, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、${\cal N}=4$ 超共形対称性が大きな2次元量子場理論の新しい指数を導入し、${\cal N}=2$ 理論の楕円的生成関数を一般化する。この指数は、対称性を保つ変形に対して不変であり、非BPSスペクトルを制約する。対称積理論の分配関数に作用するヘッケ作用素を用いて計算され、$\gcd(Q_1, Q_5) > 1$ のとき、標準的な対称積に存在しない質量ゼロの状態を含む新しい状態が明らかになる。

ABSTRACT

We consider families of theories with large N=4 superconformal symmetry. We define an index generalizing the elliptic genus of theories with N=2 symmetry. In contrast to the N=2 case, the new index constrains part of the non-BPS spectrum. Motivated by aspects of the AdS/CFT correspondence we study the index in the examples of symmetric product theories. We give a physical interpretation of the Hecke operators which appear in the expressions for partition functions of such theories. Finally, we compute the index for a nontrivial example of a symmetric product theory.

研究の動機と目的

• 2次元場理論における大規模な ${\cal N}=4$ 超共形対称性を持つ理論の新しい指数を定義し、${\cal N}=2$ 理論の楕円的生成関数を一般化すること。
• AdS/CFTおよび行列スレッド理論に由来する動機をもって、対称積オルビフォールド構成におけるこの指数の振る舞いを研究すること。
• 対称積理論における「短いストリング」と「長いストリング」の演算子の観点から、ヘッケ作用素の物理的解釈を提供すること。
• ${\rm Sym}^N({\cal S})$ のような非自明な例（${\cal S}$ は最も単純な ${\cal N}=4$ 理論）に対して、指数を明示的に計算すること。
• $\gcd(Q_1, Q_5) > 1$ のとき、反復対称積に現れる新しい質量ゼロの状態を特定・特徴づけること。標準的な対称積には存在しない。

提案手法

• ${\cal A}_\gamma$代数を保つ変形に対して不変であるような、${\cal N}=4$ SCFTの新しい指数を、シータ関数とモジュラー性を用いて定義する。
• 式 (4.6) を用いて、種理論 ${\cal C}_0$ の分配関数のヘッケ変換として、対称積理論 ${\rm Sym}^N({\cal C}_0)$ の指数を表現する。
• ヘッケ作用素の恒等式 $T_{p^{r_1}}T_{p^{r_2}} = \sum_{k=0}^{\min(r_1,r_2)} \frac{1}{p^k} T_{p^{r_1+r_2-2k}} W_{p^k}$ を用いて、反復的および標準的な対称積を比較する。
• ${\rm Sym}^{Q_1}{\rm Sym}^{Q_5}({\cal S})$ と ${\rm Sym}^{Q_1 Q_5}({\cal S})$ の差を、$T_{p^{r-2k}} Z_0(\tau, z_\pm^{p^k})$ の項を評価することで分析する。
• スペクトルフローとモジュラー変換を適用して、NS系において質量ゼロの状態を分類し、$a = p^{r-k-\delta}$ の形の $\bigoplus_{\alpha+\beta = a-1} (\cdots)$ を特定する。
• $n_0$ と $m$ の2つの族に対する明示的解を用いて、$Q_1, Q_5$ が互いに素でない場合に生じる非自明な状態を数え、それらが超重力状態でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円的生成関数は、大規模な ${\cal N}=4$ 超共形対称性を持つ理論にどのように一般化可能か。また、どのような新しい不変量が出現するか。
• RQ2 対称積理論における ${\cal N}=4$ 対称性の文脈で、ヘッケ作用素の物理的解釈は何か。
• RQ3 なぜ $\gcd(Q_1, Q_5) > 1$ のとき、反復対称積 ${\rm Sym}^{Q_1}{\rm Sym}^{Q_5}({\cal S})$ と標準的対称積 ${\rm Sym}^{Q_1 Q_5}({\cal S})$ が異なるのか。また、どのような新しい状態が現れるか。
• RQ4 新しい指数によって制約される非BPSスペクトルの構造は何か。${\cal N}=2$ の場合とどのように異なるか。
• RQ5 反復対称積のスペクトルに現れる新しい質量ゼロの状態は物理的（例えば、超重力状態でない）か。それらはどのように数えられるか。

主な発見

• ${\cal N}=4$ SCFTの新しい指数は正則的ではなく、BPS状態を単に数えるのではなく、${\cal N}=2$ の楕円的生成関数よりも非BPSスペクトルに対してより強い制約をもたらす。
• ${\rm Sym}^N({\cal C}_0)$ の指数は、式 (4.6) で示されるように、種理論の分配関数のヘッケ変換として与えられる。
• $Q_1$ と $Q_5$ が互いに素でないとき、反復対称積 ${\rm Sym}^{Q_1}{\rm Sym}^{Q_5}({\cal S})$ は、${\rm Sym}^{Q_1 Q_5}({\cal S})$ には存在しない追加の質量ゼロ状態を含む。これは差 $T_{p^{r_1}}T_{p^{r_2}}Z_0 - T_{p^r}Z_0$ によって示される。
• $Q_1 = Q_5 = p$ のとき、追加の状態は $m = n_0 = 0$ のものに限られ、$\bigoplus_{\alpha+\beta = p-1} \left(\frac{\alpha+1}{2}, \frac{\beta+1}{2}; \frac{\alpha+1}{2}, \frac{\beta+1}{2}\right)_R$ の形の多重項を形成する。スペクトルフローを施すと、$\bigoplus_{\beta=0}^{p-1} \left(\frac{p(p-1)-\beta}{2}, \frac{\beta}{2}; \cdots \right)_{\rm NS}$ となる。
• これらの余分な状態は、$N = Q_1 Q_5$ の非自明な因数分解に起因し、$p=2$ のときそれらが存在しないことから、超重力状態ではないことが確認される。
• 余分な状態のスペクトルは、$s$、$\delta$、$k$ をパrameterとする2つの族の解 $n_0$ と $m$ によって数えられる。ここで $k$ は $1$ から $\min(r_1, r_2)$ まで、$\delta$ は $0$ から $r - 2k$ まで変化する。