[論文レビュー] An index theorem for families invariant with respect to a bundle of Lie groups

Victor Nistor|ArXiv.org|Jun 28, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、単純に連結な可解リー群のバンドルによる自由作用に関して不変な、楕円型作用素の族に対するインデックス定理を確立する。非可換幾何学とフェドソフの積を用いて、アティヤ＝シンガー型の公式により、等変族インデックスのチャーン類を計算し、局所的インデックス公式を導出し、パラメータに依存する擬微分作用素へ結果を拡張するとともに、K理論における高次エータ不変量を構成する。

ABSTRACT

We define the equivariant family index of a family of elliptic operators invariant with respect to the free action of a bundle $\GR$ of Lie groups. If the fibers of $\GR o B$ are simply-connected solvable, we then compute the Chern character of the (equivariant family) index, the result being given by an Atiyah-Singer type formula. We also study traces on the corresponding algebras of pseudodifferential operators and obtain a local index formula for such families of invariant operators, using the Fedosov product. For topologically non-trivial bundles we have to use methods of non-commutative geometry. We discuss then as an application the construction of ``higher-eta invariants,'' which are morphisms $K_n(\PsS {\infty}Y) o \CC$. The algebras of invariant pseudodifferential operators that we study, $\Psm {\infty}Y$ and $\PsS {\infty}Y$, are generalizations of ``parameter dependent'' algebras of pseudodifferential operators (with parameter in $\RR^q$), so our results provide also an index theorem for elliptic, parameter dependent pseudodifferential operators.

研究の動機と目的

• 楕円型作用素の族がリー群のバンドルに関して不変である場合の等変族インデックスを定義し、計算する。
• アティヤ＝シンガーのインデックス公式を、単純に連結な可解リー群のバンドルによって符号化された対称性を持つ族へ拡張する。
• 不変擬微分作用素代数上のフェドソフ積を用いて、局所的インデックス公式を開発する。
• 不変擬微分作用素代数のK理論から複素数へ写像するモルフィズムとして、高次エータ不変量を構成する。
• パラメータに依存する擬微分作用素代数を一般化し、そのような族に対するインデックス定理を証明する。

提案手法

• 等変族インデックスは、基底空間B上のファイバー束に作用するリー群バンドルの作用を用いて定義される。
• チャーン類は、リー群ファイバーの単純に連結な可解性に依存するアティヤ＝シンガー型の公式により計算される。
• 古典的手法が失敗する位相的に非自明なバンドルを扱うために、非可換幾何学的手法が用いられる。
• フェドソフ積を用いて、不変擬微分作用素代数のための局所的インデックス公式が構成される。
• $\PsS^\infty Y$ および $\Psm^\infty Y$ の代数が、パラメータに依存する擬微分作用素代数の一般化として導入される。
• 開発されたインデックス理論を用いて、$K_n(\PsS^\infty Y)$ 上のトレースとして高次エータ不変量が構成され、$\mathbb{C}$ へ写像される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群バンドルに関して不変な楕円型作用素族に対して、等変族インデックスをどのように定義できるか。
• RQ2 リー群ファイバーが単純に連結かつ可解であるとき、等変族インデックスのチャーン類は何か。
• RQ3 フェドソフ積を用いて、不変擬微分作用素に対して局所的インデックス公式を導出できるか。
• RQ4 位相的に非自明なバンドルは、不変族のインデックス理論にどのように影響を及ぼし、それらを扱うためにどのような道具が必要か。
• RQ5 このインデックス理論は、K理論における高次エータ不変量の構成にどのような意味を持つのか。

主な発見

• 単純に連結かつ可解なリー群のバンドルに関して不変な族に対して、等変族インデックスのチャーン類は、アティヤ＝シンガー型の公式により計算された。
• フェドソフ積を用いて、代数 $\PsS^\infty Y$ および $\Psm^\infty Y$ に対して局所的インデックス公式が確立された。
• 結果はパラメータに依存する擬微分作用素へ一般化され、その設定におけるインデックス定理が拡張された。
• 高次エータ不変量は、モルフィズム $K_n(\PsS^\infty Y) \to \mathbb{C}$ として構成され、K理論における新しい不変量を提供する。
• 位相的に非自明なバンドルを扱うには、非可換幾何学的手法が不可欠であり、古典的手法では失敗する。