[論文レビュー] An index theorem for higher orbital integrals

Peter Hochs, Yanli Song+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、線形再帰的リー群のシュワーツ代数上の高次循環コキューブと、固有かつコンパクトな $G$-多様体上の等長的微分作用素の等長的インデックスのペアリングに対する完全な位相的インデックス公式を確立する。放物型誘導および軌道積分技法を用いて、これらのペアリングが商 $X/N$ 上の位相的不変量によって完全に決定されることを証明し、コンネス＝モスコビチの $L^2$-インデックス定理を一般化するとともに、高次軌道積分を用いた $K$-理論的クラスの完全な記述を提供する。

ABSTRACT

Recently, two of the authors of this paper constructed cyclic cocycles on Harish-Chandra's Schwartz algebra of linear reductive Lie groups that detect all information in the $K$-theory of the corresponding group $C^*$-algebra. The main result in this paper is an index formula for the pairings of these cocycles with equivariant indices of elliptic operators for proper, cocompact actions. This index formula completely determines such equivariant indices via topological expressions.

研究の動機と目的

• 線形再帰的リー群に対して、固有かつコンパクトな $G$-多様体上の等長的微分作用素の等長的インデックスの完全な位相的記述を提供すること。
• コンネス＝モスコビチの $L^2$-インデックス定理を、放物型部分群に関連する高次循環コキューブへ拡張すること。
• 等長的インデックスと高次循環コキューブのペアリングが、$K_*(C^*_r(G))$ に含まれるすべての情報を特定することを証明すること。
• ねじれ $\mathrm{Spin}^c$-ディラック作用素に対する一般化されたインデックス公式を確立し、一般の等長的微分作用素へ拡張すること。
• この公式が表現論、幾何学、位相論への応用が可能であることを示し、正のスカラー曲率計量の非存在性を示す一般化された $\hat{A}$-類の非自明性を含む。

提案手法

• 本手法は、ハリシュ・チャンドラのシュワーツ代数上に構成された高次循環コキューブを用い、$P=MAN$ の部分群からの放物型誘導によって得られる。
• 関数計算および $\mathcal{C}(E)$ 内の作用素を用いて、$X$ 上のインデックスを商 $X/N$ 上のインデックスに関連付ける。
• 証明は、$M$-等長的微分同相写像とアティヤ＝セガール＝サイトンの不動点定理を用いた、$X/N$ 上でのインデックスペアリングの再定式化に依存する。
• 主な要素として、$\Phi^P_x$-コキューブ（軌道積分の高次版）の使用と、トレース的汎関数による等長的インデックスとのペアリングが含まれる。
• コンネス＝モスコビチの離散群に関する研究手法を一般化し、ホッホス＝ワン（2017年）の軌道積分に関する結果を拡張する。
• 証明は、スライス分解と $M$-作用の不変性を用いて、$X$ 上でのインデックスペアリングを $X/N$ 上での位相的表現に還元することで進行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有かつコンパクトな $G$-多様体上の $G$-不変な等長的微分作用素の等長的インデックスは、すべて位相的不変量によって完全に記述可能か？
• RQ2 放物型部分群に関連する高次循環コキューブは、線形再帰的リー群の $K_*(C^*_r(G))$ に含まれるすべての情報を特定可能か？
• RQ3 等長的インデックスとこれらのコキューブとのペアリングは、アティヤ＝セガール＝サイトンの定理やコンネス＝モスコビチの $L^2$-インデックス定理といった古典的インデックス定理とどのように関係しているか？
• RQ4 このインデックス公式は、$\mathrm{Spin}^c$-ディラック作用素から一般の等長的微分作用素へ拡張可能か？
• RQ5 この公式は、特に離散系列とコンパクトカルタン部分群に関連して、表現論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 定理 2.1 は、ねじれ $\mathrm{Spin}^c$-ディラック作用素に対して、高次循環コキューブ $\Phi^P_x$ とのペアリングに対する完全な位相的インデックス公式を確立する。
• ペアリング $\langle \Phi^P_x, \mathrm{ind}_G(D) \rangle$ は、商 $X/N$ 上での $M$-等長的インデックス $\mathrm{ind}_M(D_Y)(x)$ に等しく、位相的表現を与える。
• 複素半単純群の場合、この公式はアティヤ＝セガール＝サイトンの不動点定理に還元され、既約表現の特徴を回復する。
• $G=\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ の場合、ペアリングにより特徴 $\frac{\sin((n+1)\alpha)}{\sin(\alpha)}$ が得られ、非等長ランクの場合の非自明性を確認する。
• この結果は、離散系列表現が存在するためにはコンパクトカルタン部分群の存在が必須であることを示し、ハリシュ＝チャンドラの古典的結果の半分を回復する。
• この公式は、一般化された $\hat{A}$-類による $G$-不変な正のスカラー曲率計量の非存在性を示す非自明な障害を提供する。