[論文レビュー] An index theorem for Lie algebroids

Arie Blom, Hessel Posthuma|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Weyl代数の層のフェドソフ型分解を構成することにより、Lie代数苗床に指数定理を確立する。これにより、周期的循環ホモロジーからLie代数苗床コホモロジーへの導来的特性写像を可能にする。主な結果として、この写像の自明なサイクルにおける評価が、Todd–Chern特徴類に等しくなることが計算され、代数的指数定理を一般化するとともに、Hochschild–Kostant–Rosenberg同型をLie代数苗床設定にまで拡張する。

ABSTRACT

We study Lie algebroids from the point of view noncommutative geometry. More specifically, using ideas from deformation quantization, we use the PBW-theorem for Lie algebroids to construct a Fedosov-type resolution for the associated sheaves of Weyl algebras. This resolution enables us to construct a "character map" --in the derived category-- from the sheafified cyclic chain complexes to the Chevalley--Eilenberg complex of the Lie algebroid. The index theorem computes the evaluation of this map on the trivial cycle in terms of the Todd--Chern characteristic class. Finally, we show compatibility of the character map with the Hochschild--Kostant--Rosenberg morphism.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学と変形量子化を用いて、代数的指数定理をLie代数苗床に拡張すること。
• Lie代数苗床の普遍包あらゆる代数の周期的循環ホモロジーからそのLie代数苗床コホモロジーへの導来的特性写像を構成すること。
• Lie代数苗床の文脈において、この特性写像がHochschild–Kostant–Rosenberg写像と整合することを確立すること。
• 循環コサイクルと特徴類をChern–Weil理論を通じて関連づけることにより、Riemann–Roch定理をLie代数苗床に一般化すること。

提案手法

• Lie代数苗床のPBW定理を用いて、Weyl代数の層のフェドソフ型分解を構成する。
• 周期的循環複体から、ねじれたChevalley–Eilenberg複体への自然な準同型を、導来圏内で定義する。
• Chern–Weil準同型を用いて、接続の曲率形式とLie代数苗床コホモロジーにおける特徴類との関係を確立する。
• 挿入作用素 ι_π の指数関数を用いて、Hochschildコサイクル τ₂ₙᴴᵒᶜʰ を循環コサイクル τ₂ₙʷ に拡張する。
• 評価写像 ev₁ を用いて、循環コサイクルとLie代数コホモロジーにおける特徴類を関連付ける。
• 局所的Riemann–Roch定理を適用して、循環コサイクルの評価がTodd–Chern類に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的指数定理は、どのようにLie代数苗床の設定に一般化できるか？
• RQ2 Lie代数苗床の普遍包あらゆる代数の周期的循環ホモロジーとそのLie代数苗床コホモロジーとの間には、どのような明確な関係があるか？
• RQ3 Hochschild–Kostant–Rosenberg写像は、どのようにLie代数苗床に拡張され、特性写像と整合的であるか？
• RQ4 特徴類、特にToddおよびChern類は、Lie代数苗床の指数定理において、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 導来圏内に、普遍包あらゆる代数の周期的循環複体から、Lie代数苗床のねじれたChevalley–Eilenberg複体への自然な準同型 Φ が存在する。
• 特性写像 Φ は、Hochschild–Kostant–Rosenberg写像、Todd類、および局所自由加群のChern類を含む可換図式に制限される。
• 循環コサイクル τ₂ₙʷ の自明なサイクルにおける評価は、局所的Riemann–Roch定理に従い、Todd–Chern特徴類に等しい。
• 循環コサイクル τ₂ₙʷ は、Lie代数 𝔤𝔩(n,𝕂)⊕𝔤𝔩(r,𝕂) の作用に関して不変であり、その基本的かつ不変な性質を確認する。
• 導来的特性写像を用いて、Bressler–Nest–Tsygan指数定理を任意のLie代数苗床に一般化する。
• 本手法により、非可換な循環ホモロジーと可換なLie代数苗床コホモロジーとを、特徴類を通じて結ぶフレームワークが提供される。