[論文レビュー] Singular localization and intertwining functors for reductive Lie algebras in prime characteristic

Roman Bezrukavnikov, Ivan Mirković+1 more|Scholarworks (University of Massachusetts Amherst)|Feb 4, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、素数の特異的性質における再帰的リー代数の特異的局在化を拡張し、固定された特異的中心的文字を持つ表現と、放物的スプリンガー多様体の形式的近傍上の連接層の間の導来同値を構成することで、それを達成する。同様に、相互作用関手を介してアフィンブレード群の作用を確立し、ねじれD加群とグロタンディーク＝セール双対性を用いて双対性を記述することで、以前の正則的中心的文字に対する結果を特異的ケースに一般化する。

ABSTRACT

In math.RT/0205144 we observed that, on the level of derived categories, representations of the Lie algebra of a semisimple algebraic group over a field of finite characteristic with a given (generalized) regular central character can be identified with coherent sheaves on the formal neighborhood of the corresponding (generalized) Springer fiber. In the present paper we treat singular central characters. The basic step is the Beilinson-Bernstein localization of modules with a fixed (generalized) central character as sheaves on the partial flag variety corresponding to the singularity of the character. These sheaves are modules over a sheaf of algebras which is a version of twisted crystalline differential operators, but is actually larger. We discuss translation functors and intertwining functors. The latter generate an action of the affine braid group on the derived category of modules with a regular (generalized) central character, which intertwines different localization functors. We also describe the standard duality on Lie algebra modules in terms of D-modules and coherent sheaves.

研究の動機と目的

• モジュラー表現理論における正則的中心的文字から特異的中心的文字への特異的局在化同値の一般化を図ること。
• リー代数のモジュールの導来カテゴリ上にアフィンブレード群の作用を生成する相互作用関手の構成。
• ねじれD加群と連接層を用いて、リー代数モジュール上の標準的双対性の記述。
• 部分フラッグ多様体とアズマヤ代数を用いて、ベイリソン＝バーナイン局在化枠組みを特異的無限小文字に拡張すること。

提案手法

• 固定された中心的文字を持つモジュールをねじれクリスタル微分作用素上の層として実現するため、部分フラッグ多様体上でのベイリソン＝バーナイン局在化を用いる。
• 部分フラッグ多様体 $\cal P$ 上に、中心的多様体のエタール被覆上でのアズマヤ代数である代数層 $\widetilde{\cal D}_{\cal P}$ を構成する。
• 翻訳関手と相互作用関手を適用して、異なる局在化関手を関連付け、導来カテゴリ上にアフィンブレード群の作用を実現する。
• グロタンディーク＝セール双対性と標準的ラインバンドルの自明性を用いて、$\widetilde{\cal D}$-加群上の標準的双対性を $\mathbb{D}_{\cal O}$ と $\sigma^*$-ねじれ双対性を通じて記述する。
• 同型 $\gamma_{\chi,\nu}(\mathcal{F}) \mapsto \gamma_{-\chi,\nu\check{}} \circ \mathbb{D}_{\cal O} \circ \sigma^*(\mathcal{F})$ を用いて、双対性とアフィンブレード群作用の関係を確立する。
• $\widetilde{\cal D}$-加群のテンソル積および導来カテゴリとの整合性を活用して、同値性と随伴関係の証明を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性における特異的中心的文字は、部分フラッグ多様体とねじれD加群を用いてどのように局在化可能か？
• RQ2 アフィンブレード群は、リー代数表現の異なる局在化関手を関連付ける役割を果たすか？
• RQ3 リー代数モジュール上の標準的双対性は、連接層と $\widetilde{\cal D}$-加群の観点からどのように記述されるか？
• RQ4 特異的中心的文字を持つ表現の導来カテゴリは、放物的スプリンガー多様体の形式的近傍を用いて記述可能か？
• RQ5 グロタンディーク＝セール双対性は、アフィンブレード群作用とスプリンガー多様体の幾何学とどのように作用するか？

主な発見

• 固定された特異的一般化中心的文字を持つ $\mathfrak{g}$ の表現の導来カテゴリは、対応する放物的スプリンガー多様体の形式的近傍上の連接層の導来カテゴリと同値である。
• 相互作用関手は、正則的ブロックの導来カテゴリ上にアフィンブレード群のwell-definedな作用を生成し、異なる局在化関手を結びつける。
• リー代数モジュール上の標準的双対性は、$\sigma^*$-ねじれ、$\mathbb{D}_{\cal O}$、およびブレード群要素 $\bf{w}_0$ の逆元の合成に対応し、補題 3.0.11 で表現される。
• $\widetilde{\cal D}_{\cal P}$ は導来アフィン的であり、その同値類は中心的文字と重みによって決定されるアズマヤ代数を定義する。
• 同型 $\gamma_{\chi,\nu}(\mathcal{F})\check{\ }} \cong \mathbf{I}_{\widetilde{\mathbf{w}}_0}^{-1} \circ \gamma_{-\chi,\nu\check{}} \circ \mathbb{D}_{\cal O} \circ \sigma^*(\mathcal{F})$ は、アフィンブレード群を用いた双対性の標準的記述を提供する。
• この構成はフロベニウスのねじれと $W$-作用と整合的であり、[BMR] の結果を正則的中心的文字から特異的中心的文字へ拡張する。