[論文レビュー] An Index Theory for Paths that are Solutions of a Class of Strongly Indefinite Variational Problems

Paolo Piccione, Daniel V. Tausk|ArXiv.org|Aug 6, 2001

Optimization and Variational Analysis参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特に対称性をもつ半リーマン多様体における測地線を解く強不定な変分問題に対して、新しいインデックス理論を構築する。可換なキリングベクトル場を用いて負の方向を因数分解することで、測地線作用関数を下に有界で有限モーレー指数をもつ関数に還元し、このインデックスをマスロフインデックスと関連づけ、ゴデル型および定常半リーマン多様体における測地線のモーレー関係を証明する。

ABSTRACT

We prove a generalized version of the Morse index theorem for geodesics endowed with a non positive definite metric tensor (semi-Riemannian manifolds). We apply the result to obtain lower estimates on the number of geodesics joining two fixed non conjugate points in certain classes of manifolds. More specifically, we consider semi-Riemannian manifolds $(M,\mathfrak g)$ admitting a smooth distribution spanned by commuting Killing vector fields and containing a maximal negative distribution for $\mathfrak$. In particular we obtain Morse relations for stationary semi-Riemannian manifolds and for the {\em Gödel-type} manifolds.

研究の動機と目的

• 標準的ペライス・スメイル条件および有限モーレー指数が成立しない強不定な変分問題に対するモーレー理論の一般化を図ること。
• 非定値計量および無限次元の臨界点インデックスをもつ多様体における測地線のモーレーインデックスを計算する課題に対処すること。
• 還元関数の有限インデックスと、それに対応する測地線の幾何的マスロフインデックスとの間の関係を確立すること。
• ゴデル型や定常半リーマン多様体などの特定クラスの半リーマン多様体において、2つの非共役点を結ぶ測地線の数に対するモーレー関係を導出すること。

提案手法

• 可換キリングベクトル場に関連する保存則を満たす曲線に制限することで、半リーマン多様体上の測地線作用関数を還元すること。
• 双線形形式 $B^{ ext{int}}_{ ilde{ ho}}(b)$ を含む線形系の解を用いて、還元多様体 $M_0$ の基本曲線の空間と $M$ 内の全測地線の空間との間の微分同相写像を構成すること。
• ヒルベルト多様体 $ ilde{ ho}_{p_0q_0}(M_0)$ 上に還元関数 $E_0$ を定義し、計量および曲率作用素の有界性仮定のもとで、これが下に有界でペライス・スメイル条件を満たすことを示すこと。
• 還元関数のモーレーインデックスを、全マスロフインデックスと還元マスロフインデックスの差として表す式 $n_-(d^2E_0(\tilde{\rho}_0)) = \mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}(\gamma) - \mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}^{\scriptscriptstyle\mathrm{red}}(\gamma)$ を用いて関連づけること。
• ヒルベルト多様体上の標準的モーレー理論を用い、ループ空間 $\Omega^{(0)}(M)$ のベッチ数と与えられたインデックス差をもつ測地線の数との関係を確立することで、モーレー関係を導出すること。
• ゴデル型および定常半リーマン多様体に理論を適用し、最大の負の分布と可換キリングベクトル場の存在により還元が可能であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的インデックスおよびペライス・スメイル条件が成立しない強不定な変分問題にモーレー理論をどのように拡張できるか。
• RQ2 還元関数の有限モーレーインデックスが、元の測地線のマスロフインデックスとして何を幾何学的に意味するか。
• RQ3 ゴデル型や定常多様体などの対称性をもつ半リーマン多様体における測地線に対して、モーレー関係を確立できるか。
• RQ4 還元マスロフインデックスと全マスロフインデックスの関係は何か。また、一般に成立する場合に明示的に計算可能か。
• RQ5 還元関数が下に有界でペライス・スメイル条件を満たすための条件は何か。

主な発見

• 非退化臨界点における還元関数 $E_0$ のモーレーインデックスは、全マスロフインデックスと還元マスロフインデックスの差に等しい：$n_-(d^2E_0(\tilde{\rho}_0)) = \mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}(\gamma) - \mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}^{\scriptscriptstyle\mathrm{red}}(\gamma)$。
• 計量および双線形形式 $B^{ ext{int}}_{\tilde{\rho}}(b)$ に対する適切な有界性仮定のもとで、関数 $E_0$ は下に有界であり、ペライス・スメイル条件を満たす。
• インデックス差 $i$ をもつ $p$ から $q$ への測地線の数は、モーレー関係を満たす：$\sum_{i=0}^{\infty}n_i(p,q)\lambda^i = \mathfrak{P}_\lambda(\Omega^{(0)}(M);\mathbb{K}) + (1+\lambda)Q(\lambda)$、ここで $\mathfrak{P}_\lambda$ はループ空間のペアコローポリノミアルである。
• ループ空間 $\Omega^{(0)}(M)$ は、基本曲線の空間 $\Omega_{p_0q_0}(M_0)$ とホモトピー型を同じくするため、標準的モーレー理論の適用が可能である。
• 還元マスロフインデックス $\mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}^{\scriptscriptstyle\mathrm{red}}(\gamma)$ は、一般に公式 (2.26) を用いて計算可能であり、これはラグランジュ・グラスマン多様体内でのパスの交差数を含む。
• 理論は、最大の負の分布と可換キリングベクトル場の存在により還元可能なゴデル型多様体および定常半リーマン多様体に適用可能である。