[論文レビュー] An inductive-recursive universe generic for small families

Daniel Gratzer|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2022

Advanced Topology and Set Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、観察型理論（TT obs）に埋め込まれた単射型コンストラクタをサポートする、グローテンディークトポスにおける汎用的な帰納的・再帰的宇宙の構成を提示する。小さな帰納的・再帰的定義と厳密なタルスキー的宇宙、および昇格操作を用いることで、小規模な族に対して累積性と汎用性を保証し、TT obs を多様な圏的モデルにおける実用的な内部言語として可能にする。

ABSTRACT

We show that it is possible to construct a universe in all Grothendieck topoi with injective codes a la Pujet and Tabareau which is nonetheless generic for small families. As a trivial consequence, we show that their observational type theory admits interpretations in Grothendieck topoi suitable for use as internal languages.

研究の動機と目的

• 標準的な集合論的モデルにおける観察型理論（TT obs）における単射型コンストラクタの意味論的不整合を解消すること。
• 任意のグローテンディークトポスに TT obs を拡張するために、小規模な族に対して汎用性を保つ宇宙を構築すること。
• 小さな帰納的・再帰的宇宙に厳密なタルスキー的符号化を用いることで、複雑な圏的設定における累積性と内部型理論を支持することを示すこと。
• 標準的な帰納的・再帰的宇宙の構成を、相対的に κ-コンパクトな族に対しても汎用性を保つように適応できることを示すこと。

提案手法

• グローテンディークトポス内で小さな帰納的・再帰的定義を用いて、宇宙 V_i を構成し、同時に型族 A:U_1 と符号から型への復号関数 r:El_V_i(A) → type を同時に定義する。
• 型 A をより高い宇宙の符号に写像する昇格操作 'up' を導入し、宇宙レベル間で厳密な累積性を保証する。
• 明示的な復号関数 El を備えたタルスキー的宇宙を採用し、Π や Σ のような型コンストラクタが符号に関して同型を除いて可換であることを保証する。
• 標準的な帰納的・再帰的宇宙を修正し、小規模な族、特に相対的に κ-コンパクトな族に対しても、宇宙が汎用性を保つようにすること。
• 一貫性や部分的解釈の問題から抽象化された一般化代数的理論の枠組みを用いる。
• 'up' 構成を用いて低レベルの型を高次の宇宙に埋め込み、型構造を保存し、厳密な階層を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローテンディークトポスにおいて、TT obs が要請する単射型コンストラクタをサポートする帰納的・再帰的宇宙を構築できるか？
• RQ2 圏的モデルにおいて累積性を保ちながら、小規模な族に対して宇宙を汎用的にするにはどうすればよいか？
• RQ3 小さな帰納的・再帰的定義とタルスキー的宇宙を用いて、TT obs で厳密な累積的階層を達成できるか？
• RQ4 得られた宇宙構成が、任意のグローテンディークトポスにおいて実用的な内部言語として機能できるか？
• RQ5 標準的な帰納的・再帰的宇宙にどのような修正を加えると、標準的な宇宙階層を超える族に対しても汎用性が保たれるか？

主な発見

• 任意のグローテンディークトポスにおいて、単射型コンストラクタをサポートする小さな帰納的・再帰的宇宙を構築可能であり、標準的な集合論的モデルにおける意味論的問題を解消する。
• この構成により、相対的に κ-コンパクトな族を含む小規模な族に対しても、宇宙が汎用性を保つことが保証され、内部型理論にとって不可欠である。
• 厳密なタルスキー的宇宙に加え、'up' 昇格操作を用いることで、決定可能型検査をサポートする厳密な累積的階層が実現可能である。
• すべての必要な型コンストラクタの同型が満たされ、Π や Σ の型が符号の復号によって正しく解釈されることを保証する。
• このアプローチにより、TT obs が任意のグローテンディークトポスにおいて解釈可能となり、多様な圏的設定における実用的な内部言語としての地位を確立する。
• 本手法により、[PT22] の構成がすべてのグローテンディークトポスへ一般化され、集合体モデルを超えて適用範囲が拡張される。